Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn các điều kiện đã đề ra

Buzz

Nội dung bài viết

1. Những kiến thức cần biết về việc tìm m để x1 và x2 thỏa mãn điều kiện đã cho

2. Bài tập tự luyện về dạng bài tìm m sao cho x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước (kèm đáp án)

3. Một số điểm cần lưu ý khi giải bài toán tìm m sao cho x1 và x2 thỏa mãn điều kiện đã cho

Xem thêm

Dạng bài toán xác định m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 đáp ứng điều kiện cho trước là một trong những dạng bài tập phổ biến hiện nay cho học sinh cấp 2 và cấp 3. Dưới đây, Mytour sẽ cung cấp một số thông tin liên quan đến dạng bài này.

1. Những kiến thức cần biết về việc tìm m để x1 và x2 thỏa mãn điều kiện đã cho

Để phương trình có hai nghiệm x1 và x2, chúng ta cần đảm bảo hai điều kiện sau đây:

- a ≠ 0: Điều này đảm bảo hệ số bậc hai của phương trình không bằng 0, nếu a = 0, phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc nhất.

- Δ ≥ 0: Δ (delta) là công thức tính Δ = b^2 - 4ac. Điều kiện Δ ≥ 0 đảm bảo phương trình có thể có hai nghiệm thực hoặc hai nghiệm phức có phần thực khác nhau

Sau khi xác định giá trị của a và Δ, chúng ta có thể sử dụng công thức Vi-ét để chuyển đổi biểu thức nghiệm đã cho. Công thức Vi-ét cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với hai nghiệm x1 và x2 là:

$\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Với hai nghiệm này, ta có thể tính tổng S = x1 + x2 và tích P = x1.x2. Cụ thể là:

$\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ $\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Điều này cho phép chúng ta diễn đạt giá trị của S và P dưới dạng các biểu thức liên quan đến các hệ số của phương trình đã cho. Ví dụ: S = -b/a và P = c/a

Chúng ta cũng có thể thực hiện các biến đổi biểu thức nghiệm phổ biến để tìm các giá trị khác. Ví dụ:

x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2 = S² - 2P

x1³ + x2³ = (x1 + x2)(x1² - x1x2 + x2²) = S(S² - 3P)

Để xác định giá trị cần tìm, chúng ta cần cung cấp các thông tin chi tiết về phương trình và điều kiện của tham số.

2. Bài tập tự luyện về dạng bài tìm m sao cho x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước (kèm đáp án)

Câu 1: Xét phương trình bậc hai: x² - 2mx + 4m - 4 = 0 (với x là ẩn số và m là tham số)

1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đối với mọi giá trị của m khác 2

2. Xác định giá trị của m sao cho hai nghiệm x1 và x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện: 3 (x1 + x2) = x1.x2

=> Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh rằng ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

=> Khi đã chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng công thức Vi-ét để thay vào điều kiện và tìm giá trị của tham số.

Cụ thể như sau:

$\Delta ^{'}=b^{'2}-ac=m^{2}-(4m-4)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}>0\forall m\neq 2$

Do đó, với mọi giá trị m khác 2, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

2. Đối với mọi m khác 2, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn các hệ thức Vi-ét:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2m & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=4m-4 & \end{matrix}\right.$

Ta có: 3 (x1 + x2) = x1.x2 <=> 3.2m = 4m - 4 <=> 2m = -4 <=> m = -2 (đáp án)

Với m = -2, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện 3 (x1 + x2) = x1.x2

Câu 2: Xác định giá trị của m để phương trình x² + 2 (m + 1) x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện 3x1 + 2x2 = 4

=> Bước 1: Xác định điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

=> Bước 2: Khi đã có hai nghiệm phân biệt, áp dụng công thức Vi-ét để tìm giá trị của tham số.

=> Bước 3: Đối chiếu với các điều kiện và rút ra kết luận cho bài toán.

$\Leftrightarrow \Delta ^{'}>0$ $\Delta ^{'}=(m+1)^{2}-4(-2)=(m+1)^{2}+8>0\forall m$

Với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn các hệ thức Vi-ét:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-2(m+1)\Rightarrow x_{1}=-2(m+1)-x_{2} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2 & \end{matrix}\right.$

Ta có 3x1 + 2x2 = 4 <=> 3 [-2 (m + 1) - x2] + 2x2 = 4

<=> -6 (m + 1) - 3x2 + 2x2 = 4

<=> x2 = -6 (m + 1) - 4 = -10 - 6m

=> x1 = -2 (m + 1) + 6 (m + 1) + 4 = 4m + 8

Có x1.x2 = -2 <=> - (6m + 10) (4m + 8) = -2

<=> (6m + 10) (4m + 8) = 2

<=> 24m² + 48m + 40m + 80 = 2

² $\left\{\begin{matrix} m = \frac{-3}{2} & \\ m = \frac{-13}{6} & \end{matrix}\right.$

Vậy với m = -3/2 hoặc m = -13/6, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn điều kiện 3x1 + 2x2 = 4

Câu 3: Xem xét phương trình x² - 2mx - 1 = 0 (với x là ẩn số và m là tham số)

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt đối với mọi giá trị của m

2. Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt x1 và x2 của phương trình thỏa mãn x1² + x2² = x1²x2² + 2

=> Để khẳng định phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt, cần chứng minh rằng ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số m.

=> Sau khi xác định được phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng công thức Vi-ét để giải và tìm giá trị của tham số m.

Giải pháp:

$\Delta ^{'}=b^{'2}-ac$ $m^{2}+1\geq 1> 0\forall m$

1. Do đó, với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

2. Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn các hệ thức Vi-ét:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2m & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-1 & \end{matrix}\right.$

Ta có: x1² + x2² = x1²x2² + 2 <=> (x1 + x2)² - 2x1x2 = (x1x2)² + 2

<=> 4m² - 2 (-1) = (-1)² + 2

<=> 4m² + 2 = 1 + 2

<=> 4m² = 1

² $±$ $±$ ²²²²² $\begin{vmatrix} x_{1} - x_{2} \end{vmatrix} = 3$

=> Bước 1: Xác định điều kiện của tham số để đảm bảo phương trình có hai nghiệm phân biệt.

=> Bước 2: Khi đã có hai nghiệm phân biệt, áp dụng công thức Vi-ét để xác định các giá trị của tham số.

=> Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận bài toán.

$\Leftrightarrow \Delta > 0$ $\Leftrightarrow25-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{25}{4}$ $m < \frac{25}{4}$ $left{egin{matrix} x_{1}+x_{2}= rac{-b}{a}=5 & \ x_{1}x_{2}= rac{c}{a}=m & end{matrix} ight.$ $A=egin{vmatrix} x_{1}-x_{2} end{vmatrix}=3Rightarrow A^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}=9$ $Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=9Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$ $Leftrightarrow 25-4m=9Leftrightarrow 4m=16Leftrightarrow m=4$ $egin{vmatrix} x_{1}-x_{2} end{vmatrix}=3$

3. Một số điểm cần lưu ý khi giải bài toán tìm m sao cho x1 và x2 thỏa mãn điều kiện đã cho

Để giải bài toán tìm giá trị phù hợp với các điều kiện đã cho, bạn nên thực hiện các bước sau:

- Đọc kỹ đề bài: Xem xét từng từ và câu trong đề bài, suy ngẫm về câu hỏi và câu trả lời. Đừng hấp tấp, hãy đọc lại đề nhiều lần để nắm rõ yêu cầu.

- Lưu ý các câu phủ định và khẳng định trong bài trắc nghiệm: Đặc biệt chú ý đến các câu hỏi, câu trả lời có chứa từ phủ định. Điều này giúp bạn tránh lựa chọn nhầm các phương án không rõ ràng.

- Xem xét cẩn thận các nội dung trong đề bài: Nếu đề bài có câu hỏi lý thuyết, hãy đọc kỹ từng từ, cụm từ trong câu hỏi để tránh sai sót do hiểu nhầm.

Nếu tuân thủ các bước đã nêu, bạn sẽ có khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị thỏa mãn điều kiện một cách chính xác hơn và giảm thiểu sai sót không cần thiết.

Để nâng cao độ chính xác trong tính toán và sử dụng máy tính, hãy áp dụng các phương pháp và quy tắc sau đây:

- Tính toán chính xác: Trong quá trình thực hiện phép tính, hãy kiểm tra kỹ lưỡng từng bước và đảm bảo tính chính xác. Nếu có thể, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách tính toán thêm một lần để so sánh.

- Sử dụng máy tính đúng cách: Khi dùng máy tính, hãy chắc chắn rằng bạn đã chọn đúng chức năng và làm theo đúng quy trình của bài toán. Đọc kỹ hướng dẫn sử dụng và nắm rõ các phím chức năng để tránh sai sót không đáng có.

- Sử dụng máy tính bỏ túi hợp lý: Máy tính bỏ túi rất hữu ích trong việc giải toán, nhưng cần dùng đúng mục đích và chức năng. Tránh lạm dụng máy tính và cẩn thận khi nhập liệu cũng như đọc kết quả để tránh nhầm lẫn và sai sót.

Áp dụng các nguyên tắc và phương pháp này giúp bạn tính toán và sử dụng máy tính một cách chính xác hơn, từ đó đạt được kết quả đúng đắn và tránh những sai sót không cần thiết.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]