Xác định giá trị m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

1. Cơ sở lý thuyết để tìm m cho hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

Hai đường thẳng trùng nhau là hai đường thẳng có tất cả các điểm chung.

Hai đường thẳng phân biệt là hai đường thẳng có thể có một điểm chung hoặc không có điểm chung nào.

Khi hai đường thẳng có một điểm chung duy nhất, chúng được gọi là cắt nhau.

Điểm chung này được gọi là giao điểm của hai đường thẳng.

Nếu hai đường thẳng không có điểm chung nào, chúng được xem là song song với nhau.

Ký hiệu hai đường thẳng song song là a//b hoặc b//a. Đối với hai đường thẳng vuông góc, điều kiện là a.a’ = -1. Còn với hai đường thẳng song song, điều kiện là a = a’ và b ≠ b’.

Khi hai đường thẳng cắt nhau, thì a ≠ a’. Nếu hai đường thẳng trùng nhau, thì a = a’ và b = b’.

Hai đường thẳng được coi là vuông góc khi tích a x a’ = -1, tức là chúng cắt nhau và tạo thành một góc 90 độ. Đối với trường hợp hai đường thẳng song song, điều kiện là a = a’ và b ≠ b’, dẫn đến việc chúng không có điểm chung và không cắt nhau. Nếu a ≠ a’, hai đường thẳng sẽ cắt nhau, còn khi a = a’, hai đường thẳng trùng nhau.

2. Các bài toán thường gặp liên quan đến đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho. Tìm tham số m sao cho các đường thẳng đạt yêu cầu về vị trí tương đối.

Phương pháp:

Xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d′: y = a′x + b′ (a′ ≠ 0)

+) d // d′ ⇔ {a = a′; b ≠ b′

+) d cắt d′ ⇔ a ≠ a′

+) d ≡ d′ ⇔ {a = a′; b = b′

Dạng 2: Xác định phương trình của đường thẳng

Phương pháp:

+) Xác định hệ số bằng cách sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Bên cạnh đó, chúng ta cũng áp dụng những kiến thức sau đây.

+) Phương trình đường thẳng được biểu diễn bởi y=ax+b với a≠0,b≠0 giao trục tung tại điểm A(0;b) và trục hoành tại điểm B(−b/a;0).

+) Điểm M(x0;y0) thuộc đường thẳng y=ax+b khi và chỉ khi y0=ax0+b.

Dạng 3: Xác định điểm cố định mà mọi đường thẳng d đều đi qua cho mọi giá trị của tham số m.

Phương pháp thực hiện:

Xác định điểm M(x;y) sao cho tọa độ của điểm này phù hợp với phương trình của đường thẳng d.

Chuyển đổi phương trình đường thẳng d thành phương trình bậc nhất với biến m.

Để phương trình bậc nhất ax+b=0 luôn thỏa mãn, cần có a=b=0.

Giải điều kiện này để xác định giá trị của x và y.

Điểm M(x;y) là điểm cố định mà chúng ta cần xác định.

3. Bài tập thực hành để tìm giá trị của m sao cho hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc vuông góc.

Phần I: Bài trắc nghiệm

Câu 1: Hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) sẽ cắt nhau khi

Giải thích:

Xem xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau nếu và chỉ nếu a khác a’

Đáp án đúng là: A

Câu 2: Hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) sẽ trùng nhau khi:

Giải pháp:

Xem xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Để hai đường thẳng d và d’ trùng nhau, cần có a=a’ và b=b’

Lựa chọn đáp án là: D

Câu 3: Xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) với điều kiện a = a’ và b ≠ b’. Khi đó:

A. d và d’ là song song    

B. d và d’ là trùng nhau    

C. d cắt d’  

D. d vuông góc với d’

Giải pháp:

Xem xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Lựa chọn đáp án đúng là: A

Câu 4: Xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) với điều kiện a ≠ a’. Khi đó:

A. d và d’ là song song    

B. d và d’ là trùng nhau    

C. d cắt d’  

D. d vuông góc với d’

Giải thích:

Xem xét hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

+) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi a khác a’

Lựa chọn đáp án đúng là: C

Câu 5: Xem xét hai đường thẳng d: y = x + 3 và d’: y = −2x. Khi đó:

A. d và d’ là song song    

B. d và d’ là trùng nhau    

C. d cắt d’  

D. d vuông góc với d’

Giải thích:

Đường thẳng d: y = x + 3 có hệ số góc a = 1, trong khi d’: y = −2x có hệ số góc a’ = −2

⇒ Hệ số góc a khác a’ (1 khác −2) vì vậy d sẽ cắt d’

Lựa chọn đúng là: C

Câu 6: Xét hai đường thẳng d: y = (m + 2)x – m và d’: y = −2x − 2m + 1. Khi nào thì d sẽ cắt d’?

A. m khác −2 

B. m khác −4  

C. m ≠ {−2; −4}

D. m ≠ {2; −4}

Giải đáp:

+) Ta có d: y = (m + 2)x – m với a = m + 2 và d’: y = −2x − 2m + 1 với a’ = −2

+) Để y = (m + 2)x – m là hàm số bậc nhất, cần m + 2 ≠ 0 tức là m ≠ −2.

+) Để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau, điều kiện là a ≠ a’

m + 2 ≠ −2 ⇔ m ≠ −4

Vậy m ≠ {−2; −4}

Chọn đáp án: C

Câu 7: Xét hai đường thẳng d: y = (3 – 2m)x – 2 và d’: y = 4x − m + 2. Tìm giá trị của m để d và d’ cắt nhau?

Giải đáp:

Xét d: y = (3 – 2m)x – 2 với hệ số góc a = 3 – 2m và d’: y = 4x − m + 2 với hệ số góc a’ = 4

Để d: y = (3 – 2m)x – 2 là hàm số bậc nhất, ta cần 3 – 2m ≠ 0

Chọn đáp án: A

Phần II: Bài tập tự luận

Bài 1: Xét hai hàm số y = kx + m - 2 và y = (5 - k)x + (4 - m). Xác định m và k để đồ thị của hai hàm số

a. Trùng nhau

b. Song song

c. Cắt nhau

Bài 2: Xét hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số:

a. Tạo thành một tam giác vuông cân với hai trục tọa độ

b. Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục Oy

c. Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trục Ox

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 1)x + 2 và (d2): y = 2x + 1. Xác định giá trị của m để hai đường thẳng giao nhau tại điểm có hoành độ và tung độ trái dấu

Bài 4: Tìm giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy với đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1

Bài 5: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2l - 3. Xác định điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số có thể là:

a, Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm

b, Hai đường thẳng song song với nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 6: Cho hai hàm số y = mx + 4 và y = (2m - 3)x - 2. Xác định giá trị của m để hai đồ thị hàm số này là:

a, Hai đường thẳng song song

b, Hai đường thẳng cắt nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

d, Hai đường thẳng giao nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 7: Xét hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m. Tìm giá trị của m để các đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Bài 8: Xét hai hàm số y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1

a, Với giá trị nào của m thì các đồ thị của hai hàm số trở thành hai đường thẳng song song?

b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau?

Bài 9: Cho hàm số y = mx - 2 (với m khác 0). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 10: Cho hàm số y = x + m. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trở thành đường thẳng song song với x - y + 3 = 0.

Bài 11: Xác định m để đường thẳng y = x + m² + 1 và đường thẳng y = 5 + (m - 1)x cắt nhau tại:

a, Một điểm trên trục hoành

b, Một điểm trên trục tung

Bài 12: Xem xét hai hàm số bậc nhất y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1

a. Xác định giá trị của m để hai hàm số có đồ thị là hai đường thẳng song song

b. Xác định giá trị của m để hai hàm số có đồ thị là hai đường thẳng cắt nhau

Bài 13: Xem xét hai đường thẳng (d1): y = x + 2 và (d2): y = -2x + 2

a. Tính tọa độ điểm giao nhau của hai đường thẳng (d1) và (d2)

b. Gọi điểm giao của các đường thẳng (d1) và (d2) với trục Ox lần lượt là A và B. Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

Bài 14: Xem xét hàm số y = (2m - 1)x + n. Tìm các giá trị của m và n sao cho đồ thị của hàm số này song song với đường thẳng y = 2x và đi qua điểm A (1; 2)

Bài 15: Xem xét hàm số y = (m -1)x + 5 với đồ thị là đường thẳng (d) và các đường thẳng (d1): y = -x + 3, (d2): y = x - 1. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), và (d3) đồng quy