Nữ tiến sĩ 9x đã chinh phục thành công một trong những bài toán khó nhất của thế kỷ 21: Một huy chương 'Nobel Toán học' đang đợi cô vào năm 2026.

Nếu thành công, cô sẽ là người Trung Quốc đầu tiên nhận Huy chương Fields.

Vương Hồng, nhà toán học sinh năm 1991 người Trung Quốc, đã giải quyết thành công 'Giả thuyết Kakeya' trong không gian ba chiều, một bài toán tồn tại suốt hơn 100 năm và được coi là đỉnh cao của toán học thế kỷ này.

'Đây chắc chắn là một trong những thành tựu toán học vĩ đại nhất của thế kỷ này,' Eyal Lubetzky, nhà toán học tại Đại học New York, nhận xét.

Cùng nhận định với ông là giáo sư Terence Chi-Shen Tao, nhà toán học gốc Hoa được gọi là 'Mozart của toán học', người đã giành Huy chương Fields năm 2006 nhưng đã không thành công trong việc giải 'Giả thuyết Kakeya' cho không gian ba chiều.

'Tôi rất vui mừng thông báo rằng Giả thuyết Kakeya, một trong những bài toán mở lớn nhất trong lý thuyết đo lường hình học, cuối cùng đã được chứng minh bởi Vương Hồng và Joshua Zahl,' giáo sư Tao cho biết.

Việc chứng minh Giả thuyết Kakeya trong không gian ba chiều mở ra những khả năng nghiên cứu mới trong các lĩnh vực như giải tích điều hòa, lý thuyết số và toán tổ hợp. Đây cũng là bước đột phá có thể tác động đến các ứng dụng trong khoa học máy tính như tạo hình ảnh, xử lý dữ liệu và truyền thông không dây.

Với thành tựu này, Vương Hồng hiện được xem là ứng viên sáng giá cho Huy chương Fields - giải thưởng danh giá nhất trong toán học, được ví như 'Nobel Toán học', dự kiến trao vào năm 2026.

Bắt đầu từ bài toán về một cây kim

Giả thuyết Kakeya xuất phát từ một bài toán do nhà toán học người Nhật Soichi Kakeya đưa ra vào năm 1917. Ban đầu, nó có vẻ như một bài tập hình học đơn giản cho học sinh trung học:

Giả sử bạn có một cây kim đặt trên một mặt phẳng. Bạn cần tìm cách xoay cây kim sao cho đầu của nó có thể chỉ theo mọi hướng, đồng thời diện tích mà nó quét qua mặt phẳng là nhỏ nhất.

Thông thường, chúng ta sẽ thử xoay cây kim theo hình vòng tròn. Khi đó, cây kim sẽ quét qua một diện tích có hình tròn có đường kính bằng chiều dài của nó.

Tuy nhiên, Soichi Kakeya đã đưa ra giải pháp thông minh hơn, rằng ông có thể xoay cây kim 360 độ và quét qua một hình tam giác lõm có diện tích chỉ bằng một nửa diện tích của hình tròn ban đầu.

Giải pháp này chỉ tồn tại được 2 năm. Abram Besicovitch, nhà toán học người Nga, đã chứng minh rằng nếu cây kim có độ dày siêu mỏng gần như bằng 0, nó có thể xoay 360 độ và quét qua một diện tích cũng gần như bằng 0.

Giải pháp của Besicovitch được công bố vào năm 1919, nhưng do Chiến tranh thế giới thứ nhất và Cách mạng Nga, phải mất vài năm sau mới được thông báo rộng rãi.

Điều này nghe có vẻ mơ hồ, làm sao có thể xoay cây kim 360 độ mà quét qua một diện tích bằng 0?

Để hiểu giải pháp của Besicovitch, hãy tưởng tượng bạn đang cầm một lá bài. Nhiệm vụ của bạn là cắt lá bài theo chiều dày, sao cho bạn có được 2 lá bài mỏng, mỗi lá bằng một nửa lá ban đầu.

Sau đó, bạn xòe chúng ra một chút, sao cho hai lá bài chồng lên nhau nhiều nhất có thể. Tiếp theo, bạn cắt đôi hai lá này thành 4 lá, rồi 8 lá... và tiếp tục xòe chúng ra một chút.

Cuối cùng, nếu bạn cắt lá bài vô hạn lần và xòe chúng vô hạn, lý thuyết cho thấy bạn sẽ có đủ không gian để cây kim xoay 360 độ, nhưng diện tích của lá bài sẽ giảm xuống còn 0.

Đây là một nghịch lý, nhưng có thể được chứng minh bằng toán học. Và thực tế là, nó đã được chứng minh hơn 100 năm trước bởi nhà toán học người Nga Abram Besicovitch.

Mở rộng lên không gian n chiều

Về cơ bản, Abram Besicovitch đã hoàn thành giải pháp cho câu hỏi mà Soichi Kakeya đặt ra, và lẽ ra bài toán đã có thể dừng lại tại đó. Tuy nhiên, vài thập kỷ sau, các nhà toán học lại bắt đầu khám phá một khía cạnh khác của bài toán Kakeya.

Họ tự hỏi: Khi cây kim đã xoay theo đủ mọi hướng, thì không gian mà nó chiếm sẽ có chiều không gian bằng bao nhiêu?

Trong toán học, chiều được hiểu là thước đo độ phức tạp. Chiều thường được định nghĩa là số hướng mà bạn có thể di chuyển trong không gian. Ví dụ, một điểm có chiều bằng 0, vì nó chỉ là một chấm không có chiều dài, chiều rộng hay chiều cao.

Một đường thẳng có 1 chiều, vì bạn chỉ có thể di chuyển tới lui trên đó, giống như đi trên một sợi dây. Ngược lại, một mặt phẳng như tờ giấy có 2 chiều, chiều ngang và chiều dọc. Còn không gian 3 chiều mà chúng ta sống, trong một tòa nhà, bạn có thể di chuyển theo 2 chiều trên mặt đất, cộng thêm chiều cao khi đi lên hoặc xuống các tầng.

Tuy nhiên, toán học không dừng lại ở đó. Có những khái niệm kỳ lạ như hình phân dạng fractal, đã được chứng minh là có thể có chiều thập phân, chẳng hạn như 1,5 chiều. Điều này có nghĩa là chúng nằm ở một vị trí "nửa vời" giữa các chiều, phức tạp hơn một đường thẳng nhưng chưa đủ để trở thành mặt phẳng.

Khi biết chiều của một đối tượng trong toán học, ta cũng hiểu được độ phức tạp cơ bản của đối tượng đó, vì các nhà toán học sẽ xác định được mức độ "tự do" mà đối tượng có thể di chuyển.

Do đó, họ cũng cần phải biết một chiếc kim có thể xoay qua bao nhiêu chiều trong bài toán Kakeya.

Năm 1971, Roy Davies, nhà toán học người Anh, đã chứng minh rằng khi xoay một chiếc kim trên mặt phẳng 2D, số chiều không gian xoay hay tập hợp Kakeya tạo ra luôn là 2, ngay cả khi diện tích của nó bằng 0, giống như một điểm trong không gian 0 chiều.

Tuy nhiên, trong toán học, các nhà toán học luôn tìm cách khái quát hóa các vấn đề. Họ muốn kiểm tra bài toán Kakeya trong tất cả các không gian có n chiều. Liệu một cây kim quay theo tất cả n hướng có luôn tạo ra một thể tích n chiều?

Phỏng đoán này chính là Giả thuyết Kakeya, và trong suốt 100 năm qua, chưa ai có thể chứng minh được nó.

Nữ toán học gia 9x người Trung Quốc ghi tên vào lịch sử khi chứng minh được Giả thuyết Kakeya cho không gian 3 chiều

Một trong những bước quan trọng nhất và là nền tảng để chứng minh Giả thuyết Kakeya tổng quát là việc chứng minh nó đúng trong không gian 3 chiều. Một chiếc kim xoay mọi hướng trong không gian 3 chiều sẽ tạo thành một tập hợp 3 chiều.

Mặc dù nghe có vẻ đơn giản và hiển nhiên, nhưng bài toán này đã khiến vô số thế hệ nhà khoa học tài ba nhất phải đầu hàng, những người đã dành cả thập kỷ để giải quyết nó.

Vào năm 1995, nhà toán học người Mỹ Thomas Wolff đã chứng minh rằng chiều của tập hợp Kakeya trong không gian 3 chiều phải lớn hơn 2,5.

Năm 1999, nhà toán học người Úc gốc Hoa Terence Chi-Shen Tao đã có một bước tiến đột phá, khi ông chứng minh được rằng số chiều của tập Kakeya trong không gian 3 chiều lớn hơn 2,500000001.

Chênh lệch nhỏ 0,000000001 này đủ để giáo sư Tao công bố một bài báo trên tạp chí toán học danh giá Annals Mathematics.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta phải nhìn nhận sự đột phá mà Vương Hồng, nữ nhà toán học 9x người Trung Quốc, đã đạt được khi cô chứng minh rằng số chiều của tập Kakeya trong không gian 3 chiều chính xác là 3.

Sinh năm 1991 tại Quế Lâm, Trung Quốc, Vương Hồng được xem là một trong những thần đồng toán học nổi bật của quốc gia này từ đầu thập niên 2000. Khi còn học tiểu học, cô đã nhảy vọt qua 3 lớp nhờ khả năng học tập vượt trội.

Khi mới 16 tuổi, Vương Hồng đã xuất sắc đỗ đại học với 653/750 điểm, giành được suất học tại Trường Khoa học Trái đất và Không gian của Đại học Bắc Kinh, một trong những trường đại học hàng đầu của Trung Quốc.

Sau một năm học, cô chuyển sang Khoa Toán học và tốt nghiệp cử nhân toán vào năm 2011. Sau đó, Vương Hồng sang Pháp học thạc sĩ và tiếp tục đến Mỹ để lấy bằng tiến sĩ toán học tại Viện Công nghệ Massachusetts (MIT) vào năm 2019.

Chính trong khoảng thời gian này, Vương Hồng bắt đầu nghiên cứu Giả thuyết Kakeya. Cô theo đuổi con đường tương tự như giáo sư Terence Chi-Shen Tao, cùng giả định rằng số chiều của tập Kakeya trong không gian 3 chiều phải nhỏ hơn 3 và chứng minh điều này là không thể.

Phương pháp mà cô sử dụng được gọi là phương pháp phản mệnh đề. Mặc dù Tao không thể phủ nhận giả thuyết này, nhưng Vương Hồng đã sử dụng lý thuyết chiếu để chứng minh. Cô chỉ ra rằng nếu một cây kim xoay mọi hướng trong không gian 3 chiều mà tập Kakeya có chiều nhỏ hơn 3, thì cây kim này không thể tồn tại.

"Đây là một sự xác nhận mạnh mẽ cho tính đúng đắn của Giả thuyết Kakeya," Pablo Shmerkin, nhà toán học tại Đại học British Columbia, nhận xét. Mặc dù hiện tại chỉ đúng trong không gian 3 chiều, nhưng kỹ thuật của Vương Hồng có thể được ứng dụng để chứng minh Giả thuyết Kakeya ở các không gian có chiều cao hơn.

Điều này có tầm quan trọng vô cùng lớn. Hãy tưởng tượng thay vì chỉ xoay một cây kim sao cho nó chiếm ít diện tích nhất trong không gian, bài toán ứng dụng của chúng ta có thể là xoay một hạt vật chất, sóng âm hoặc sóng điện từ để tiết kiệm năng lượng tối đa.

Khi Giả thuyết Kakeya được chứng minh, nó sẽ mở ra vô số ứng dụng mới không chỉ trong toán học mà còn trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên như vật lý và hóa học. Thành tựu này giúp Vương Hồng trở thành một ứng cử viên sáng giá cho Giải thưởng Fields, được coi là "Nobel Toán học".

Nếu Vương Hồng đạt được giải thưởng này, cô sẽ trở thành người Trung Quốc đầu tiên nhận giải Fields. Dù Trung Quốc có nền toán học rất phát triển, và học sinh của họ thường giành giải trong các cuộc thi quốc tế như Olympic Toán học (IMO), nhưng chưa có nhà toán học nào từ đại lục Trung Quốc giành được giải Fields.

Trong lịch sử, chỉ có hai người gốc Hoa giành giải Fields, đó là Shing-Tung Yau (quốc tịch Mỹ) và Terence Tao (quốc tịch Úc). Việt Nam cũng đã có một người nhận giải Fields, đó là giáo sư Ngô Bảo Châu vào năm 2010.

Khác với các giải Nobel được trao hằng năm, Huy chương Fields chỉ được trao mỗi 4 năm một lần. Lần trao giải gần nhất là vào năm 2022, vì vậy Vương Hồng có thể bắt đầu tranh giải này từ năm 2026.