Buzz
Biến cố độc lập là hiện tượng khi hai hoặc nhiều sự kiện xảy ra mà không làm thay đổi xác suất của nhau, tức là mỗi sự kiện không có ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của sự kiện còn lại. Hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp chúng ta phân tích chính xác các tình huống trong xác suất. Hãy cùng Mytour tìm hiểu định nghĩa, công thức biến cố độc lập và các ví dụ minh họa kèm lời giải dễ dàng áp dụng vào thực tế.
Biến cố độc lập là gì?
Trong lý thuyết xác suất, hai biến cố A và B được coi là độc lập khi việc một trong hai biến cố xảy ra hay không không làm thay đổi xác suất xuất hiện của biến cố còn lại. Nói cách khác, sự kiện này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của sự kiện kia, dù cho nó có xảy ra hay không.
- Quy tắc nhân xác suất:
Khi hai biến cố A và B là độc lập, xác suất để cả hai cùng xảy ra được tính bằng tích của xác suất mỗi biến cố:
P(AB) = P(A).P(B)
Quy tắc này cũng có thể áp dụng cho nhiều biến cố và nếu có k biến cố A1, A2, ..., Ak độc lập với nhau, thì xác suất để tất cả cùng xảy ra đồng thời là:
P(A1A2Ak) = P(A1).P(A2)...P(Ak)
Việc lựa chọn laptop để học toán không chỉ giúp bạn giải quyết bài tập nhanh chóng mà còn hỗ trợ việc vẽ đồ thị, chạy phần mềm tính toán và học lập trình. Một chiếc laptop lý tưởng nên có màn hình sắc nét, hiệu năng ổn định và bàn phím thoải mái để dễ dàng nhập công thức. Nếu bạn đang tìm kiếm một chiếc laptop học toán hiệu quả, đừng quên cân nhắc các yếu tố về hiệu suất, độ bền và sự linh hoạt khi sử dụng.
Ví dụ minh họa về biến cố độc lập
Ví dụ: Xem xét một chiếc máy bay có hai động cơ (động cơ I và động cơ II), mỗi động cơ hoạt động độc lập mà không bị ảnh hưởng lẫn nhau. Xác suất để động cơ I hoạt động tốt là 0,6, trong khi động cơ II có xác suất hoạt động ổn định là 0,8. Hãy tính toán:
a) Xác suất để cả hai động cơ đều hoạt động tốt
b) Xác suất để cả hai động cơ đều không hoạt động
Hướng dẫn cách giải:
a) Xác suất để cả hai động cơ đều hoạt động tốt
Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt được tính bằng cách nhân xác suất của từng động cơ hoạt động tốt:
P(A) = P(I chạy tốt) x P(II chạy tốt) = 0,6 x 0,8 = 0,48
b) Xác suất để cả hai động cơ đều không hoạt động
Xác suất để động cơ I không hoạt động tốt là: P(I hỏng) = 1 - P(I chạy tốt) = 1 - 0,6 = 0,4
Tương tự, xác suất để động cơ II không hoạt động tốt là: P(II hỏng) = 1 - P(II chạy tốt) = 1 - 0,8 = 0,2
Vì hai động cơ hỏng độc lập với nhau, xác suất để cả hai đều không hoạt động là: P(B) = P(I hỏng) x P(II hỏng) = 0,4 x 0,2 = 0,08
Vì vậy, xác suất để cả hai động cơ hoạt động tốt cùng lúc là 48%, trong khi xác suất cả hai động cơ hỏng chỉ chiếm 8%. Đây là một ví dụ thực tế về cách áp dụng quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập, giúp chúng ta đánh giá chính xác hơn mức độ rủi ro khi vận hành hệ thống máy móc.
Các bài tập tự luyện về biến cố độc lập
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn luyện tập xác định và tính toán xác suất cho các biến cố độc lập:
Bài 1: Một chiếc máy bay có hai động cơ A và B, mỗi động cơ hoạt động độc lập với nhau. Hiệu suất của mỗi động cơ không chịu tác động từ động cơ còn lại. Theo thống kê kỹ thuật, xác suất để động cơ A hoạt động ổn định là 0,5, trong khi động cơ B có khả năng vận hành tốt là 0,9.
Dựa trên các thông tin này, chúng ta sẽ tính toán xác suất cho hai trường hợp quan trọng sau:
a) Cả hai động cơ đều hoạt động tốt
b) Cả hai động cơ đều không hoạt động
Một số bài tập về biến cố độc lập
Bài 2: Trong một trò chơi may rủi, ta sẽ gieo một con xúc xắc đồng chất và cân đối hai lần liên tiếp. Xem xét hai biến cố sau:
A: "Mặt có 4 chấm xuất hiện trong lần gieo đầu tiên"
B: "Mặt có 4 chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai"
Câu hỏi: Hai biến cố A và B có phải là biến cố độc lập không? Hãy giải thích lý do.
Bài 3: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc (tức là không thể xảy ra đồng thời), với P(A) > 0 và P(B) > 0. Chứng minh rằng A và B không thể là hai biến cố độc lập.
Tóm lại, việc hiểu rõ về biến cố độc lập giúp chúng ta áp dụng đúng đắn các quy tắc xác suất trong các tình huống thực tế. Thông qua các ví dụ và bài tập đã trình bày, bạn sẽ dễ dàng nhận diện và tính toán xác suất của các biến cố này. Việc nắm vững khái niệm này không chỉ hỗ trợ trong học tập mà còn có giá trị quan trọng trong các lĩnh vực như thống kê, tài chính và khoa học dữ liệu.
