Buzz
Chuyên đề phương trình mặt phẳng cùng các công thức và bài tập liên quan luôn thu hút sự quan tâm của đông đảo học sinh. Hiểu rõ khái niệm và thành thạo các dạng bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi. Nếu bạn chưa biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Oxy, hãy đọc kỹ bài viết này! Tất cả kiến thức về chuyên đề sẽ được trình bày chi tiết và dễ hiểu.
Phương trình mặt phẳng là gì?
Để giải quyết các bài tập thuộc chuyên đề này, trước tiên bạn cần hiểu rõ: Vectơ chỉ phương là gì? Vectơ pháp tuyến là gì? Phương trình tổng quát của mặt phẳng được biểu diễn như thế nào? Hãy khám phá ngay những thông tin dưới đây để nắm vững các khái niệm quan trọng này!
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến trong mặt phẳng
Vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là những vectơ nằm trong hoặc song song với mặt phẳng đó. Số lượng vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng là không giới hạn.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác vectơ 0 và có hướng vuông góc với mặt phẳng. Tương tự như vectơ chỉ phương, số lượng vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng là vô hạn. Đồng thời, các vectơ pháp tuyến trong cùng một mặt phẳng luôn cùng phương với nhau.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian ba chiều được biểu diễn như sau:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó:
- Vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) với điều kiện A² + B² + C² > 0.
- D là hằng số giúp xác định vị trí cụ thể của mặt phẳng trong không gian.
Ghi nhớ: Công thức viết phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của nó.
iPad là thiết bị học tập hiệu quả được nhiều phụ huynh lựa chọn. Ngoài việc tìm hiểu công thức phương trình mặt phẳng, bạn còn có thể khám phá thêm nhiều kiến thức và bài tập toán học thú vị khác trên iPad. Nếu bạn đang tìm mua iPad chính hãng với giá tốt, hãy ghé ngay Mytour để xem các sản phẩm phù hợp!
Vị trí tương đối giữa các mặt phẳng
Trong không gian ba chiều, các mặt phẳng có thể song song, vuông góc, trùng khớp hoặc cắt nhau theo một đường thẳng.
Xét hai mặt phẳng (A): Qx + My + Nz + D = 0 và (B): Q’x + M’y + N’z + D’ = 0.
Trong đó: Q, M, N, D, Q’, M’, N’, D’ đều khác 0.
Ta có các trường hợp sau:
- (A) và (B) cắt nhau khi: Q/Q’ ≠ M/M’ ≠ N/N’
- (A) và (B) trùng nhau khi: Q/Q’ = M/M’ = N/N’ = D/D’
- (A) và (B) song song khi: Q/Q’ = M/M’ = N/N’ ≠ D/D’
- (A) và (B) vuông góc khi: QxQ’ + MxM’ + NxN’ = 0
Các dạng bài tập thường gặp về phương trình mặt phẳng
Việc nắm vững công thức và các dạng bài tập liên quan đến phương trình mặt phẳng Oxy sẽ giúp bạn đạt điểm cao trong các kỳ thi và bài kiểm tra. Dưới đây là một số dạng bài tập phổ biến trong chuyên đề này, cùng Mytour tham khảo ngay nhé!
Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm với vectơ pháp tuyến đã biết
Bài tập:
Cho mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến n = (4, 2, 5) và điểm M (2, 3, 1) nằm trên mặt phẳng. Hãy viết phương trình mặt phẳng Oxy.
Lời giải:
Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng, ta có:
4(x - 2) + 2(y - 3) + 5(z - 1) = 0
Phương trình sau khi rút gọn là:
4x + 2y + 5z – 19 = 0
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Bài tập:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết (P) đi qua ba điểm A(2, 1, 4); B(4, 3, 5) và C(1, 5, 8).
Lời giải:
Bước 1: Xác định các vectơ AB và AC từ các điểm đã cho.
Vectơ AB = (4 – 2, 3 – 1, 5 – 4) = (2, 2, 1).
Vectơ AC = (1 – 2, 5 – 1, 8 – 4) = (-1, 4, 4).
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vectơ pháp tuyến = tích có hướng của vectơ AB và vectơ AC
Thay các giá trị vào, ta có:
Vectơ pháp tuyến = (2x4 - 1x4, 1x(-1) - 2x4, 2x4 - 2x(-1)) = (4, -9, 10).
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) dựa trên vectơ pháp tuyến và điểm đã biết.
(P): 4(x – 2) – 9(y – 1) + 10(z – 4) = 0
=> (P): 4x – 9y + 10z – 39 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng khác
Bài tập:
Viết phương trình mặt phẳng (Q) biết (Q) đi qua điểm Y (2, 5, 1) và song song với mặt phẳng (P): 2x + 3y + 4z = 0.
Lời giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (2, 3, 4). Do (P) song song với (Q), nên n cũng là vectơ pháp tuyến của (Q).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm Y (2, 5, 1) và có vectơ pháp tuyến n = (2, 3, 4). Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) là:
2(x – 2) + 3(y – 5) + 4(z – 1) = 0
Hay:
2x + 3y + 4z – 23 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
Bài tập:
Viết phương trình mặt phẳng (I) biết (I) đi qua điểm A (2, 3, 7) và vuông góc với đường thẳng g: (x + 2)/1 = (y – 2)/(-1) = (z + 3)/2.
Lời giải:
Đường thẳng g có vectơ chỉ phương u = (1, -1, 2).
Do mặt phẳng (I) vuông góc với đường thẳng g, nên vectơ chỉ phương của g cũng là vectơ pháp tuyến của (I).
Phương trình mặt phẳng (I) đi qua điểm A (2, 3, 7) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 2) được viết như sau:
1(x – 2) – 1(y – 3) + 2(z – 7) = 0
Hay:
x – y + 2z – 13 = 0
Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều
Bài tập:
Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt như sau:
d: x = 2 + t; y = 1 – t; z = 2t.
d’: x + 2z – 2 = 0; y – 3 = 0.
Yêu cầu: Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song và cách đều hai đường thẳng d và d’.
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (1, -1, 2).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương u’ = (-2, 0, 1).
Vì (Q) song song với d và d’, nên mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n = (-1, -5, -2) (tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của d và d’).
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: -x – 5y – 2z + D = 0.
Chọn điểm A(2, 1, 0) thuộc d và điểm B(2, 3, 0) thuộc d’.
Theo yêu cầu, khoảng cách từ mặt phẳng (Q) đến điểm A và B phải bằng nhau, do đó:
- D = 12
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: -x – 5y – 2z + 12 = 0.
Phương trình hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Bài tập:
Cho các thông tin sau:
- Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng h: x = -t, y = -1 + 2t, z = 2 + t
- Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 1 = 0
Yêu cầu: Viết phương trình mặt phẳng (P).
Lời giải:
Đường thẳng h đi qua điểm I(0, -1, 2) và có vectơ chỉ phương u = (-1, 2, 1).
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n = (1, 2, -1).
Theo đề bài, mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và chứa đường thẳng h, nên vectơ pháp tuyến của (P) được tính như sau:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
-4(x – 0) – 4(z – 2) = 0
⬄ -4x – 4z + 8 = 0
⬄ x + z – 2 = 0
Trên đây là tổng hợp các công thức và bài tập viết phương trình mặt phẳng thường gặp mà Mytour muốn chia sẻ với bạn. Hy vọng bạn đã hiểu rõ cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Oxy cũng như các dạng bài tập liên quan. Đừng bỏ lỡ những kiến thức, chuyên đề toán học và giáo dục hấp dẫn khác trên Mytour, hãy tiếp tục theo dõi nhé!
Đọc thêm các bài viết cùng chủ đề: Góc Học & Dạy 4.0
