Tổng hợp các công thức tính xác suất chi tiết nhất và các ví dụ minh họa dễ hiểu

Có thể bạn đã học qua các công thức tính xác suất thống kê và xác suất của một biến cố. Đây là những bài toán khó, dễ mắc sai lầm, đòi hỏi tư duy tốt nhưng lại vô cùng hữu ích trong cuộc sống nếu áp dụng đúng cách. Nếu bạn muốn ôn lại những kiến thức này, hãy cùng Mytour khám phá các công thức dưới đây.

Công thức tính xác suất của một biến cố

Xác suất của một biến cố có thể được hiểu đơn giản là khả năng xảy ra của sự kiện đó, được đo lường trong khoảng từ 0 đến 1. Nếu giá trị xác suất càng gần 1, thì khả năng xảy ra sự kiện đó càng cao. Ngược lại, nếu giá trị xác suất gần 0, sự kiện này sẽ ít có khả năng xảy ra.

Để tính xác suất của một biến cố, bạn sử dụng công thức sau đây:

Trong đó:

• A: ký hiệu của biến cố.
• Ω: không gian mẫu chứa các khả năng có thể xảy ra khi thực hiện một phép thử.
• P(A): xác suất xảy ra biến cố A.
• n(A): số phần tử trong tập hợp A.
• n(Ω): số phần tử trong không gian mẫu Ω.

Lưu ý:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• P(Ω) = 1.
• P(∅) = 0.

Khi tìm hiểu các dạng toán này, bạn sẽ cần tra cứu khá nhiều thông tin. Để việc học tập được hiệu quả, hãy chuẩn bị một chiếc laptop. Dưới đây là một số mẫu để bạn tham khảo và lựa chọn.

Tổng hợp các công thức tính xác suất thống kê

Xác suất thống kê là công thức được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như toán học, y học, nghiên cứu khoa học,... Để tính toán xác suất thống kê, có ba phương pháp phổ biến: phép cộng, phép nhân và công thức mở rộng. Các công thức này như sau:

Công thức cộng xác suất

Công thức này được sử dụng khi bạn cần tính xác suất cho ít nhất một trong hai biến cố. Nguyên lý của công thức rất đơn giản, bạn chỉ cần cộng xác suất của hai biến cố, sau đó trừ đi xác suất của trường hợp cả hai biến cố xảy ra đồng thời. Cách tính xác suất của hai hoặc nhiều biến cố sẽ có sự khác biệt, cụ thể như sau:

• Tập hợp gồm hai biến cố ngẫu nhiên A và B, công thức tính xác suất là: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AxB).
• Trong trường hợp có ba biến cố, công thức tính xác suất là: P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AxB) - P(AxC) - P(BxC) + P(AxBxC).
• Đối với hai biến cố đối lập nhau, công thức tính xác suất là:

• Tập hợp có A và B là hai biến cố đối lập nhau. Công thức tính xác suất như sau:

• Trong trường hợp A1, A2, A3,... An là các biến cố đối lập theo từng đôi, công thức tính xác suất như sau: P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + P (A…) + P(An).

Công thức nhân xác suất

Công thức nhân được áp dụng khi tính xác suất cho hai biến cố độc lập xảy ra đồng thời. Phép nhân đơn giản hơn công thức cộng, cụ thể như sau:

• Trong trường hợp có hai biến độc lập A và B, công thức tính xác suất là: P(A.B) = P(A)xP(B).
• Với ba biến độc lập A, B và C, công thức tính là: P(A.B.C) = P(A)xP(B)xP(C).
• Để tính xác suất cho nhiều biến cố xảy ra đồng thời, công thức là: P(A1.A2…An) = P(A1)xP(A2)xP(A…)xP(An).

Trong đó:

• P(A): xác suất của sự kiện A xảy ra.
• P(B): xác suất sự kiện B có thể xảy ra.
• P(A.B): xác suất hai sự kiện A và B xảy ra đồng thời.

Công thức xác suất mở rộng từ tính chất

Ngoài hai công thức tính xác suất thống kê cơ bản như trên, bạn có thể tham khảo một số phương pháp mở rộng sau đây:

• Xác suất thống kê đồng thời: P(A.B) = P(A)xP(B/A).
• Xác suất điều kiện: P(A/B) = P(A.B) / P(B).
• Xác suất biên: P(A) = Σ P(A.B).

Trong đó:

• P(A.B) là xác suất mà hai sự kiện A và B xảy ra cùng lúc.
• P(A/B) là xác suất của sự kiện B xảy ra, với điều kiện A đã xảy ra.
• Σ đại diện cho tổng hợp của tất cả các biến cố B có thể liên quan đến A.

Các bài toán minh họa về cách tính xác suất

Phía trên chỉ mới là phần lý thuyết về xác suất. Để hiểu rõ hơn và dễ dàng hình dung việc tính toán, bạn cần tham khảo các bài toán và ví dụ cụ thể. Dưới đây là một số ví dụ về công thức xác suất, giúp bạn nắm bắt cách tính và áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế:

Bài toán rút bài ngẫu nhiên từ bộ bài

Đề bài:

Bạn Nga rút một lá bài ngẫu nhiên từ bộ bài tây gồm 52 quân bài.

a. Tính xác suất để bạn Nga rút được lá A cơ.

b. Xác suất Nga rút được một lá bài đỏ là bao nhiêu?

Bài giải:

a. Nga rút một quân bài ngẫu nhiên, vì vậy xác suất xuất hiện mỗi lá bài đều như nhau. Cụ thể: Xác suất để rút được lá A cơ = n(A)/n(Ω) = 1/52.

b. Bộ bài có 26 lá đỏ và 26 lá đen. Xác suất để Nga rút được một lá bài đen = n(A)/n(Ω) = 1/26.

Bài toán về việc lấy bi ngẫu nhiên

Đề bài:

Trong hộp có 20 viên bi, trong đó có 12 viên màu xanh và 8 viên màu vàng. Nga lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để:

a. Nga lấy ít nhất 1 viên màu vàng.

b. Nga lấy được cả hai viên màu xanh và vàng.

Bài giải:

a. Xác suất để Nga có ít nhất 1 viên vàng là:

b. Cách giải như sau:

• Xác suất để lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng là:

• Xác suất để lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng là:

• Xác suất Nga lấy được 2 viên bi với các màu khác nhau là:

Một số lưu ý khi tính xác suất hiệu quả

Để đảm bảo tính chính xác khi sử dụng các công thức tính xác suất trong thực tế, bạn cần lưu ý một số điểm quan trọng dưới đây:

• Phân tích kỹ và lựa chọn công thức phù hợp với tính chất của từng bài toán.
• Đảm bảo phân tích tất cả các khả năng xảy ra để xác định kích thước mẫu.
• Xem xét mối quan hệ giữa các biến cố trong tập hợp mẫu như độc lập, đối lập, xảy ra đồng thời hay tương phản nhau. Đây là nền tảng để chọn công thức chính xác cho bài toán.
• Cẩn thận trong quá trình tính toán, tốt nhất nên sử dụng máy tính cầm tay vì việc tính tay dễ gây nhầm lẫn và mất thời gian do số lượng phép tính lớn.

Trên đây là các công thức tính xác suất thống kê, xác suất của các biến cố cơ bản. Bạn hãy ôn lại các lý thuyết và bài tập đã học. Tuy nhiên, các bài toán thực tế sẽ phức tạp hơn, vì vậy bạn cần phân tích kỹ và tính toán cẩn thận để tránh sai sót. Nếu muốn tìm thêm các dạng bài toán khác, đừng quên theo dõi các bài viết liên quan trên Mytour.