Buzz
Kỳ thi SAT đang dần trở nên phổ biến vì một số trường đại học yêu cầu chứng chỉ này trong hồ sơ du học, đặc biệt là du học Mỹ. Không giống như những kỳ thi khác như IELTS, TOEIC, PTE,…, kỳ thi SAT có phần thi Math, và đây cũng là phần thi đầy thử thách đối với một số người học. Để cung cấp kiến thức và hỗ trợ người học sâu hơn, bài viết dưới đây sẽ giới thiệu một dạng bài trong SAT Math là Operations with Polynomials cùng với cách làm bài, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Tổng quan về dạng bài Operations with polynomials trong SAT Math
Trong đề thi SAT Math, dạng bài "Operations with Polynomials" có thể xuất hiện ở cả hai phần: phần có sử dụng máy tính (calculator section) và phần không được sử dụng máy tính (no calculator section).
Section không sử dụng máy tính: Các bài toán trong phần này thường là phép tính cơ bản hoặc trung bình với đa thức, bao gồm cộng, trừ, nhân, và phân tích đa thức. Thí sinh cần nắm vững các quy tắc thao tác với đa thức và có khả năng thực hiện tính toán thủ công, không cần máy tính .
Section có sử dụng máy tính: thí sinh thực hiện các phép toán phức tạp hơn với đa thức mà có thể yêu cầu sử dụng máy tính để hỗ trợ tính toán. Tuy nhiên, các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, và chia đa thức vẫn được áp dụng.
Chiến thuật giải quyết bài toán Operations with polynomials
Trước tiên, người học cần biết đa thức là gì. Một biểu thức đa thức là biểu thức có một hoặc nhiều số hạng với hệ số, cơ số biến và số mũ [1].
Với phép cộng/ trừ đa thức
Khi cộng trừ đa thức, chỉ cộng các hạng tử đồng dạng (like terms), nghĩa là các hạng từ có cùng biến (variable base) và cùng số mũ (exponent). Thực hiện phép tính cộng bằng cách cộng hệ số (coffiencient) của các hạng tử đồng dạng, giữ nguyên biến và số mũ. Kết quả cuối cùng thường được xếp ở dạng số mũ giảm dần.
Ví dụ:
5x3+x3+2x2−4=x3(5+1)+2x2−4=6x3+2x2−4
Ta thấy đa thức trên có 2 hạng tử đồng dạng là 5x³và x³ (có cùng số mũ là 3 và biến x). Nhóm 2 hạng từ này với nhau, ta có: x³.(5+1). Như vậy, phép cộng có kết quả, 6x³.
Thực hiện tương tự với phép trừ, tuy nhiên, người học hãy nhớ đổi dấu trong dấu ngoặc cho các hạng tự.
Ví dụ:
(2x2+4x)−(6x2−3x)=2x2+4x−6x2+3x=−4x2+7x
Với phép nhân đa thức
Khi nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với lần lượt từng hạng tử của đa thức kia. Khi nhân hạng tử, ta nhân hệ số, đồng thời cộng số mũ.
Tiếp theo, người học cộng/ trừ các số hạng cùng dạng với nhau. Kết quả cuối cùng thường được xếp ở dạng số mũ giảm dần.
Ví dụ:
Một số phép tính đa thức sẽ trở nên phức tạp hơn khi có hai biến số (x và y). Tuy nhiên, người học vẫn áp dụng quy tắc giống nhau.
Ví dụ:
(x2y−3y2+5xy2)−(−x2y+3xy2−3y2)=x2y−3y2+5xy2+x2y−3xy2+3y2=2x2y+2xy2
Về phép chia đa thức
Khi chia một đa thức cho một đa thức, người học thực hiện các bước sau:
Bước 1: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự số mũ giảm dần của biến
Bước 2: Lấy hạng tử đầu tiên của đa thức bị chia chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.
Bước 3: Lấy kết quả có được ở bước 2 nhân với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.
Bước 4: Lấy hạng tử có số mũ cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.
Bước 5: Lấy kết quả ở bước 4 nhân với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia số hai (kết quả của bước 3) trừ đi tích đó
Tiếp tục làm như vậy cho đến khi nhận được hiệu là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức chia.
Ví dụ: (x3−x2+3x−3):(x−1)Bước 1: các hạng tử ở đa thức bị chia và đa thức chia đã đều được xếp theo thứ tự số mũ giảm dần.
Bước 2: Lấy số hạng đầu tiên của đa thức bị chia (x³) chia có số hạng đầu tiên của đa thức chia (x)
x3:x=x(3−1)=x2Bước 3: Lấy kết quả có được ở bước 2 (x²) nhân với đa thức chia (x-1)
x2⋅(x−1)=(x2⋅x)−(x2⋅1)=x3−x2rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó
(x3−x2+3x−3)−(x3−x2)=3x−3Bước 4: Lấy hạng tử có số mũ cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia.
3x:x=3Bước 5: Lấy kết quả ở bước 4 (3) nhân với đa thức chia (x-1) 3⋅(x−1)=3x−3rồi lấy đa thức bị chia số hai (kết quả của bước 3) trừ đi tích đó
(3x−3)−(3x−3)=0Vậy kết quả cuối cuàng là x²-3 với số dư = 0.
Giải thích một số yêu cầu trong đề thi
Which expression is equivalent to […]
Đề bài này yêu cầu người học rút gọn đa thức hết mức có thể bằng các phép tính.
Which of the following is the sum of […] and […]
Đề bài này yêu cầu người học tính tổng bằng cách thực hiện phép tính cộng.
If […] = […], what is the value of A?
Đề bài này yêu cầu người học thực hiện các phép tính để tìm giá trị của A.
In the equation above, a and b are constants. What is the value of (ab)?
Đề bài này yêu cầu người học rút gọn đa thức và tìm giá trị a, b tương ứng rồi thực hiện các phép tính yêu cầu (ví dụ: a+b, a.b,…).
Bài tập ứng dụng
A. 2x² + 6xB. 2x² + 6x + 6C. 2x² + 2xD. 2x² + 2x + 6
2. Which of the following is the sum of
(−4x+4x3+7)+(3x2−9−3x)A. 4x³ - 3x² - 7x - 2B. 4x³ + 3x² - 7x - 2C. 4x³ + 3x² - x - 2D. 4x³ - 3x² - x + 2
3. Which expression is equivalent to (8x2−3x)−(5x−5−8x2)A. 2x - 5B. 2x + 5C. -8x - 5D. 16x² - 8x + 5
4. Which expression is equivalent to (x2+5x).(2x−4)
A. 2x³ + 6x² - 20xB. 2x³ + 14x² - 20xC. 2x² + 14x² + 20xD. 2x² + 6x² + 20x
5. (2x−3)⋅(x2−3)If the expression above is written in the form ax³ + bx²+ cx + d, in which a, b, c and d are constants. What is the value of b?
A. 2B. -2C. -3D. -6
6. (5x+2)⋅(x−2)=ax2−bx−4In the equation above, a and b are constants. What is the value of (ab)?
A. 60B. -60C. 40D. -40
7. x(2−x)+(x2+3)−(2x+1)Which of the following is equivalent to the expression shown above?
A. 2B. 4xC. 2x + 2D. 2x - 2
8. (2x2−3x+1)−(−2x2−3x+2)If the expression above is written in the form: ax2+bx+cin which a, b, and c are constant, what is the value of a + b + c?
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.
(x2+5x+6):(x+2)Which of the following is the quotient of the expression shown above?
A. xB. x + 1C. x + 2D. x + 3
10. If 6x2−5x+4−3x+1=−2x+1+A−3x+1what is the value of A?
A. 3B. 4C. 5D. 6
Giải pháp và lý giải
Câu trả lời
1 - A | 2 - B | 3 - D | 4 - A | 5 - C |
6 - C | 7 - A | 8 - B | 9 - B | 10 - A |
Lý do giải thích
1.
(4x+3)+(2x2+2x−3)=4x+3+2x2+2x−3=2x2+4x+2x+3−3=2x2+6x2. (−4x+4x3+7)+(3x2−9−3x)=−4x+4x3+7+3x2−9−3x=4x3+3x2−4x−3x+7−9=4x3+3x2−7x−23. (8x2−3x)−(5x−5−8x2)=8x2−3x−5x+5+8x2=8x2+8x2−3x−5x+5=16x2−8x+54. (x2+5x)⋅(2x−4)=2x3−4x2+10x2−20x=2x3+6x2−20x5. (2x−3)⋅(x2−3)=2x⋅(x2−3)−3⋅(x2−3)=2x3−6x−3x2+92x3−3x2−6x+9
Theo dạng: ax³ + bx²+ cx + d thì b = -3.
6. (5x+2)⋅(x−2)=5x⋅(x−2)+2⋅(x−2)=5x2−10x+2x−4=5x2−8x−4Theo dạng: ax² - bx - 4 thì a = 5, b = 8. Vậy a.b = 40
7.
x⋅(2−x)+(x2+3)−(2x+1)=2x−x2+x2+3−2x−1=28.(2x2−3x+1)−(−2x2−3x+2)=2x2−3x+1+2x2+3x−2=4x2−1Theo dạng: ax² + bx + c thì a = 4, b = 0, c= -1. Vậy a + b + c = 4 + 0 - 1 = 3
9. Câu hỏi số 9
10. Nhận thấy rằng cả hai biểu thức đều có mẫu số (-3x + 1), ta tiến hành quy đồng mẫu số chung, và có được:
Áp dụng phép tính để tìm giá trị của A: 4 = 1 + A, suy ra A = 3
