Cách tận dụng DESMOS để giải các phép tính liên quan đến toạ độ trong bài thi SAT

Kiến thức cơ bản về phương trình bậc nhất hai ẩn

y = mx + b

Trong đó:

• m là hệ số góc của phương trình.

• b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình tuyến tính cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard):

Ax + By = C

Trong đó:

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Phương trình bậc nhất hai ẩn trong mặt phẳng toạ độ

Tung độ gốc (y-intercept) của phương trình bậc nhất hai ẩn là giao điểm giữa đường thẳng biểu diễn phương trình và trục tung, nghĩa rằng khi x = 0.

Ngoài ra, hoành độ gốc (x-intercept) của phương trình bậc nhất hai ẩn là giao điểm giữa đường thẳng và trục hoành. Trong trường hợp này, y = 0.

Cuối cùng, nghiệm của phương trình sẽ là điểm nằm trên đường thẳng đó.

Ví dụ: Xét phương trình y = 3x + 6

• Xét y = 0 -> x = -2 -> (-2, 0) là hoành độ gốc của phương trình

• Xét x = 0 -> y = 6 -> (0, 6) là tung độ gốc của phương trình

• Xét x = -1 -> y = 3 -> (-1, 3) là nghiệm của phương trình

Khi ta biểu diễn phương trình này trên mặt phẳng toạ độ, ta sẽ thấy phương trình là một đường thẳng cắt trục Oy tại (0, 6) và trục Ox tại (-2, 0) và có điểm (-1, 3) nằm trên nó.

Fig. 1. Line y = 3x + 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Những phép tính liên quan đến tọa độ trong câu hỏi Digital SAT

Giới thiệu về máy tính khoa học DESMOS

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Những tính năng cơ bản của DESMOS

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn dùng DESMOS để xử lý các phép tính về toạ độ

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ phương trình để hiểu rõ được những dữ kiện được cho và hiểu rõ đề bài đang hỏi gì.

Ví dụ, với đề bài được giao trên mục Sample question, ta xác định được một vài dữ kiện.

• Phương trình được cho: 2x + 4y = 4

• Phương trình có hoành độ gốc là (a, 0) và tung độ gốc là (0, b)

• Đề bài yêu cầu tính biểu thức 2b - a.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator, trong đó phải sử dụng các tính năng khác nhau để đáp ứng nhu cầu của đề bài.

Nếu đề bài đòi hỏi tính năng bảng (cho trước điểm đường thẳng đi qua và bắt tìm đường thẳng hay hệ số góc, etc), thì dưới đây là hướng dẫn sử dụng tính năng bảng.

Trước hết, người học cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”.

Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator.

DESMOS sẽ tự động cho thấy các điểm này trên mặt phẳng toạ độ. Sau đó, người học có thể thấy một biểu tượng đường thẳng ở trên giao diện, và khi rê chuột trên biểu tượng này sẽ thấy dòng chữ “add regression”.

Sau khi nhấn vào "add regression" thì Desmos sẽ cho người học một giao diện với các dạng regression để người học chọn. Desmos sẽ để mặc định là "Linear Regression" và đây chính là dạng người học cần dùng, vì đây là phương trình tuyến tính dạng y = mx + b.

Người học bây giờ có thể thấy hệ số góc của phương trình tuyến tính.

Ngoài ra, nếu đề bài cho trước phương trình, người đọc cũng có thể nhập vào những dòng trên giao diện. DESMOS sẽ tự vẽ đồ thị của đường thẳng tương ứng. Nếu cần thiết, người học quan sát vị trí giao nhau của đường thẳng với trục Oy (để tìm tung độ gốc) và trục Ox (để tìm hoành độ gốc). Người học có thể bấm vào các giao điểm này để hiện lên tọa độ.

Bước 3: Sau khi tìm được các thông tin sau yêu cầu, người học có thể thực hiện các tính toán tọa độ bằng cách nhấp vào một dòng mới và bấm công thức. Nếu người học cần phải bấm ký hiệu như phân số, thì người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức. Với những giá trị điểm khó viết hay lẻ, để tránh sai sót người học có thể bấm chuột vào các điểm trên mặt phẳng toạ độ và bấm vào mũi tên hướng xuống, rồi copy-paste vào các tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

The graph of 2x + 4y = 4 in the xy-plane has an x-intercept at (a, 0) and a y-intercept at (0, b), where a and b are constants.

What is the value of 2b - a?

A -1B. 0C. -1D. 2

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: 2x + 4y = 4

• Phương trình có hoành độ gốc là (a, 0) và tung độ gốc là (0, b)

• Đề bài bắt tính biểu thức 2b - a.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: 2x + 4y = 4

Fig. 4. Line 2x + 4y = 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng. Người học có thể bấm vào giao điểm giữa đường thẳng và trục Oy và Ox để tìm hoành độ gốc là (2, 0) và tung độ gốc là (0,1). Để tránh ghi sai số liệu, người học có thể bấm vào các biểu tượng mũi tên trên mỗi điểm để các toạ độ hiện trên giao diện, giúp cho việc sao chép dễ dàng hơn.

Fig. 5. Line 2x + 4y = 4 with intercepts on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bây giờ, người học có thể mở calculator rồi bấm các tính toán cần thiết.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bây giờ, người học có thể bấm biểu thức cần tìm vào dòng dưới.

Đề bài yêu cầu tìm 2b - a. Thay a = 2 và b = 1, ta có 2b - a = 2 ⋅ 1 - 2 = 0

Bước 4: Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án:

• Thay x = 2, y = 0 -> 4 + 0 = 4 -> Đúng

• Thay x = 0, y = 1 -> 0 + 4 = 4 -> Đúng

=> Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập áp dụng

Question 1:

The line given by the equation 4x - 2y = 8 intersects the x-axis at point (p, 0) and the y-axis at point (0, q). What is the value of p + q?

A. -2B. 2C. 4D. -4

Answer: A

Question 2:

A line in the xy-plane is defined by the equation

y=−12x+5

If the x-intercept of the line is (p, 0), what is the value of p - 5?

A. 10B. 5C. 0D. 15

Answer: B

Question 3:

kx + 2y = 12 represents a line that passes through the point (2, 3), where k is a constant. What is the value of k/2?

A. 2B. 1/2C. 3/2D. 1

Answer: C

Question 4:

A line passes through points (-4, -3) and (1, 2). If the line’s equation is written in the slope-intercept form (y = mx + b), what is the value of m + b?

A.-1B. 0C. 1D. 2

Answer: D

Question 5:

A line in the xy-plane has the equation y = 2x - 8. If point (t, 2) lies on the line, what is the value of 2t - 8?

A. -2B. 0C. 2D. 4

Answer: C

Question 6:

The graph of the equation y = mx + 6 passes through the point (4, 2). If the x-intercept of the line is (r, 0), what is the value of r + m?

A. 5B. 4C. 3D. 2

Answer: A

Question 7:

The line with the equation 3x - y = 6 passes through the points (p, 3) and (4, q). What is the value of p + q?

A. 5B. 6C. 7D. 9

Answer: D

Question 8:

The graph of 2x + 5y = 10 has slope m, x-intercept (a, 0), and y-intercept (0, b). What is the value of m(a - b)?

A. -1B. −6/5C. 0D. -2/5

Answer: B

Question 9:

A line passes through the point (4, 1) and has an x-intercept of (p, 0). The slope of the line is m = −1/2. What is the product of p and m?

A. -3B. 3C. 6D. -6

Answer: A

Question 10:

A business sells a certain product and represents its profit P, measured in dollars, with the equation P = 20x - 500, where x denotes the number of units sold. In this model, the slope corresponds to the price per unit. The x-intercept indicates how many units must be sold for the profit to equal zero. If the company raises the price to $25 for each unit while maintaining the same fixed cost, what is the sum of the original and the updated x-intercepts?

A. 20
B. 40
C. 45
D. 25

Correct answer: C