Buzz
Định lý Pytago được hiểu như thế nào?
Nội dung phát biểu và công thức của định lý Pytago
Trước hết, định lý Pytago chỉ được áp dụng với tam giác vuông. Vậy, tam giác vuông là gì? Tam giác vuông là hình tam giác có ba cạnh với một góc bằng 90 độ. Góc 90 độ được gọi là góc vuông và đó là lý do tam giác vuông có tên gọi này. [1]
Cạnh đối diện với góc vuông của tam giác được gọi là cạnh huyền. Đây là cạnh dài nhất trong ba cạnh của tam giác vuông.
Định lý Pytago là một phát biểu liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tam giác vuông bất kỳ như sau: Với bất kỳ tam giác vuông nào, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Khái quát phát biểu trên thành công thức, người học sẽ có:
h2=a2+b2Với:
h là cạnh huyền
a và b là 2 cạnh góc vuông còn lại
Ý nghĩa của các cạnh trong tam giác vuông được hiểu ra sao
Với tam giác vuông, có một số định nghĩa về các cạnh mà người học cần ghi nhớ.
Đầu tiên, trong một tam giác vuông, sẽ có 2 cạnh tạo góc vuông với nhau (góc 90 độ). 2 cạnh này được gọi là 2 cạnh góc vuông. Người học cần lưu ý rằng 2 cạnh góc vuông không nhất thiết phải bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, người học sẽ có một tam giác vuông cân với mỗi góc của cạnh góc vuông với cạnh huyền bằng 45 độ.[1]
Bên cạnh đó, ta có cạnh đối diện với góc vuông, hay nói cách khác, cạnh huyền. Cạnh huyền luôn luôn lớn hơn 1 trong 2 cạnh góc vuông và là cạnh dài nhất trong một tam giác vuông. [1]
Phạm vi sử dụng và những điều kiện cần thỏa mãn
Như đã đề cập trước đó, định lý Pytago chỉ đúng khi áp dụng với các tam giác vuông. Nghĩa rằng, một tam giác vuông sẽ có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông và ngược lại bất kỳ tam giác nào có tổng bình phương 2 cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Những phương pháp chứng minh định lý Pytago
Chứng minh theo hình học: phương pháp sắp xếp lại các hình.
Khi vẽ các hình vuông dọc theo mỗi cạnh của một tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ hơn (hai hình vuông dọc theo cạnh ngắn nhất, a và b) bằng diện tích của hình vuông lớn nhất (hình vuông dọc theo cạnh dài nhất, c). [2]
Bằng cách tính diện tích của mỗi hình vuông, chúng ta có thể tìm được độ dài của bất kỳ cạnh nào trong một tam giác vuông, vì:
→ a2+b2=c2
Chứng minh dựa vào các tam giác đồng dạng.
Trong △ACH và △BCA: [3]
ó∠C=∠C(Gócchung)
∠AHB=∠BAC(90°)
Do đó, ta có thể nói △ACH∼△BCA
Tương tự, △BHA∼△BAC
Do đó, BHBA=BABC → BA2=BH.BC (1)
Và, ACCH=BCAC → AC2=CH.BC (2)
Cộng các phương trình (1) và (2) AB2+AC2 = BC.(BH+CH)
→ AB2+AC2 = BC.BC = BC2
Chứng minh của James Garfield (dựa trên diện tích)
Tổng thống thứ 20 của Mỹ James Garfield đã phát triển một cách chứng minh khác cho định lý Pytago. Ông xây dựng một hình thang vuông lớn bằng cách ghép ba tam giác vuông, sau đó tính diện tích của hình thang này theo hai cách khác nhau và đặt chúng bằng nhau. [4]
Cách thứ nhất là tính diện tích của hình thang với cạnh lớn là a, cạnh bé là b, chiều cao là a+b, dựa trên công thức hình học cơ bản: Diện tích = đáớđáéề12(đáylớn+đáybé).chiềucao=12(a+b)2
Cách thứ hai là tính diện tích bằng tổng diện tích của ba hình cấu thành. Hình thang được tạo nên từ hai tam giác vuông (mỗi tam giác có diện tích 12ab) và một tam giác vuông lớn (có hai cạnh góc vuông đều là c → diện tích là 12c2). Tổng diện tích của ba hình này là ab+12c2
Vì hai cách tính đều là diện tích của cùng một hình thang, ta đặt chúng bằng nhau để thiết lập phương trình:
12(a+b)2 = ab+12c2 → (a+b)2=2ab+c2 → a2+2ab+b2=2ab+c2 → a2+b2=c2
Những phương pháp chứng minh bằng đại số
Vào khoảng 2000 năm trước, Trung Quốc đã tìm ra một cách để chứng minh định lý Pytago. Cách ấy được diễn giải như sau: [5]
Trong hình này, ta có 4 tam giác với 3 cạnh a, b, c như nhau. Với mỗi cạnh của hình vuông ngoài cùng là a + b. [5]
→ Diện tích của hình vuông lớn bên ngoài: A = (a+b)2
→ Hình vuông nhỏ hơn (bị nghiêng) có diện tích là: c2
→ Mỗi hình tam giác có diện tích là: ab2
→ Tổng diện tích của cả 4 hình tam giác là: 4ab2 = 2ab
→ Hình vuông bị nghiêng cộng với 4 hình tam giác là: A = c2 + 2ab mà A = (a+b)2
→ (a+b)2 = c2 + 2ab
→ a2+2ab+b2 = c2 + 2ab → a2+b2 = c2
Ngoài ra, người học cũng có thể tìm hiểu thêm một số cách chứng minh khác như sử dụng vi tích phân,…
Định lý Pytago đảo
Do đó, người học có thể dựa vào định lý Pytago đảo để chứng minh một tam giác có vuông hay không. Cụ thể hơn:
Nếu có số liệu, người học cần xem xét mối liên hệ của chúng và đặt vào công thức của định lý Pytago.
Nếu không có số liệu, giả sử người học có trên 1 hình tam giác và 1 trong số chung là tam giác vuông, người học có thể sử dụng các quy tắc của tam giác đồng dạng/tam giác bằng để chứng minh kết hợp cùng định lý trên.
Ứng dụng trong thực tế và các dạng bài toán liên quan
Tính toán độ dài các cạnh trong tam giác vuông ở bài tập hình học.
Người học có thể sử dụng định lý này để tính độ dài các cạnh chưa biết của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. Điều này rất quan trọng trong việc giải các bài toán về lượng giác, đo lường và hình học tọa độ. [3]
Định lý này còn được áp dụng vào các bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm chiều cao của các tòa nhà hoặc khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng, giúp người học hiểu được các ứng dụng thực tế. [3]
Ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật và xây dựng.
Các kiến trúc sư sử dụng định lý Pytago để đảm bảo các phép đo của mình có độ chính xác cao khi xây dựng nhà cửa, cầu cống hoặc các công trình khác. Định lý này giúp tạo góc vuông và tính toán độ dài đường chéo khi thiết kế bố cục và nền móng. [3]
Vận dụng để giải các bài toán liên quan trong SAT Math
Ngoài ra, trong bài thi SAT Math cũng xuất hiện dạng toán liên quan đến định lý Pytago một cách khá thường xuyên. Do đó, người học cần nắm vững kiến thức liên quan đến định lý này nhằm phục vụ việc học tập/thi cử của mình.
Ví dụ về bài toán thực tế có mức độ phức tạp.
Tình huống:
Một thợ mộc cần đóng một chiếc thang gác để leo lên gác xép. Để đảm bảo an toàn và đúng kỹ thuật, chiếc thang phải được đặt cách chân tường một khoảng nhất định.
Chiều cao của gác xép (tính từ sàn nhà lên mép gác xép) là 3.6 mét.
Chiều dài của thang đã chuẩn bị là 4.5 mét.
Yêu cầu:
Tính khoảng cách an toàn tối thiểu từ chân thang đến chân tường để thang có thể chạm tới mép gác xép.
Nếu thợ mộc muốn đặt thang cách chân tường 1.8 mét, liệu thang 4.5 mét có chạm tới mép gác xép (3.6 mét) được không? Nếu không, nó sẽ chạm tới độ cao bao nhiêu?
Đáp án:
Khoảng cách an toàn tối thiểu từ chân thang đến chân tường là 2.7 mét.
Thang 4.5m có thể chạm tới mép gác xép (3.6m) vì nó có thể chạm tới độ cao tối đa là 4.124 m.
Các bài tập áp dụng định lý Pytago
A. Tổng độ dài hai cạnh góc vuông.
B. Hiệu bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
C. Tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
D. Tích độ dài hai cạnh góc vuông.
Câu 2: Bộ ba số nào sau đây không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (bộ ba Pytago)?
A. 3, 4, 5
B. 5, 12, 13
C. 8, 15, 17
D. 4, 5, 6
Câu 3: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 cm và 8 cm. Độ dài cạnh huyền của tam giác đó là:
A. 100 cm
B. 14 cm
C. 10 cm
D. 140 cm
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB=1cm, AC=2cm và BC=cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác nhọn.
B. Tam giác tù.
C. Tam giác vuông (tại A).
D. Tam giác cân.
Câu 5: Trong hình chữ nhật có chiều dài 12 cm và chiều rộng 5 cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó là:
A. 17 cm
B. 13 cm
C. 19 cm
D. 60 cm
Câu 6: Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Độ dài cạnh huyền là:
A. 2a
B. a2
C. a2
D. a
Câu 7: Một sợi dây dài 25 m được căng từ đỉnh cột điện xuống đất. Biết khoảng cách từ chân cột điện đến chỗ buộc dây trên mặt đất là 7 m. Chiều cao của cột điện là:
A. 18 m
B. 32 m
C. 24 m
D. 25 m
Đáp án đúng:
Câu 1. C
Câu 2. D
Câu 3. C
Câu 4. C
Câu 5. B
Câu 6. C
Câu 7. C
Tổng hợp những câu hỏi phổ biến trong phần thi SAT Math - Phần 2
Cách giải các dạng bài toán trong SAT Math (P1)
SAT Math formulas: Những công thức thường gặp trong SAT Math
