Dùng DESMOS để xác định nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

Kiến thức cơ bản về phương trình bậc nhất một ẩn

ax + b = 0 (a≠0)

Trong đó:

• a là hệ số của ẩn x, trong đó a khác 0.

• b là hằng số,

• x là ẩn số cần tìm.

Để giải phương trình, ta thực hiện các phép biến đổi đại số:

ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x=−b/a

Như vậy, với a khác 0, phương trình bậc nhất một ẩn luôn có đúng một nghiệm duy nhất, đó là x=-b/a.

Sự liên hệ giữa nghiệm của phương trình và biểu diễn đồ thị

Do đó, việc tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn tương đương với việc tìm giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox. Cách nhìn này giúp ta hiểu rõ bản chất hình học của nghiệm và rất hữu ích khi sử dụng công cụ đồ thị như Desmos.

Ví dụ minh họa:

Xét phương trình:

5x + 3 = 13

Phương trình trên có thể được hiểu như sự bằng nhau giữa hai biểu thức: vế trái 5x + 3 và vế phải 13. Khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vế của phương trình tương ứng với một đồ thị:

• Biểu thức 5x+3 được biểu diễn bởi đường thẳng y=5x+3

Fig. 1. Line y=5x+3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

• Hằng số 13 được biểu diễn bởi đường thẳng y=13, song song với trục hoành.

Fig. 2. Line y=13 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Khi hai đường thẳng này được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, nghiệm của phương trình 5x + 3 = 13 chính là hoành độ của giao điểm giữa hai đồ thị. Giao điểm này thể hiện giá trị của x tại đó hai vế của phương trình có cùng giá trị, tức là phương trình được thỏa mãn.

Các câu hỏi liên quan đến phương trình bậc nhất một ẩn trong kỳ thi Digital SAT

Tổng quan về máy tính khoa học DESMOS

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Những tính năng cơ bản của DESMOS

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Line y=2x-4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn áp dụng DESMOS để xác định nghiệm phương trình bậc nhất

Các bước thực hiện tổng quát

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng hàm số.

Trước hết, ta đưa phương trình bậc nhất một ẩn về dạng hàm số để có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Từ phương trình:

ax + b = 0

ta xét hàm số tương ứng:

y = ax + b

Bước 2: Nhập hàm số vào DESMOS.

Người học mở công cụ đồ thị Desmos, sau đó nhập biểu thức vào ô bên trái:

y = ax + b

Ngay lập tức, Desmos sẽ vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ. Nhờ đó, ta có thể quan sát trực tiếp hình dạng và vị trí của đường thẳng.

Bước 3: Xác định giao điểm với trục hoành.

Tiếp theo, người học quan sát điểm mà đồ thị của đường thẳng cắt trục hoành (tức là nơi y = 0).Tại giao điểm này, giá trị của hoành độ chính là nghiệm của phương trình ax + b = 0, vì tại đó ta có ax + b = y = 0.

Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm.

Cuối cùng, để đảm bảo kết quả chính xác, người học thay giá trị x vừa tìm được vào phương trình ban đầu ax + b = 0. Nếu hai vế bằng nhau, nghiệm tìm được là hoàn toàn đúng.

Ví dụ minh họa

Câu hỏi: What is the solution of the following equation?

2x − 4 = 0

Hướng dẫn bằng DESMOS

• Bước 1: Xét hàm số y = 2x − 4

Từ phương trình 2x − 4 = 0, ta chuyển sang dạng hàm số bằng cách đặt

y = 2x − 4

Hàm số này là một hàm bậc nhất, có đồ thị hàm số là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Việc biểu diễn phương trình dưới dạng hàm số giúp ta dễ dàng quan sát mối quan hệ giữa x và y, đồng thời tạo điều kiện để xác định nghiệm của phương trình thông qua hình ảnh trực quan.

• Bước 2: Nhập y = 2x − 4 vào DESMOS

Sau khi đã có dạng hàm số, ta mở công cụ đồ thị Desmos và nhập biểu thức:

y = 2x − 4

Ngay lập tức, Desmos sẽ hiển thị đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ. Đường thẳng xuất hiện cho phép ta quan sát trực tiếp vị trí mà nó cắt các trục tọa độ, đặc biệt là trục hoành.

Fig. 5. Line y=2x-4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

• Bước 3: Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành

Quan sát đồ thị trên Desmos, ta thấy đường thẳng y = 2x − 4 cắt trục hoành tại điểm (2, 0).Điều này có nghĩa là khi x = 2 thì y = 0, hay nói cách khác:

2x − 4 = 0 khi x = 2.

Do đó, hoành độ của giao điểm, tức x = 2, chính là nghiệm của phương trình.

• Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm

Để chắc chắn kết quả là chính xác, ta thay x = 2 vào phương trình ban đầu:

2(2) − 4 = 4 − 4 = 0

Hai vế bằng nhau, vì vậy ta kết luận x = 2 là nghiệm đúng của phương trình.→ Nghiệm của phương trình là x = 2

Lưu ý: Khi hiển thị toạ độ, DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập áp dụng

Question 1:

Which of the following equations represents all values of x where the graph of

y = 2x + 5

intersects the x-axis?

A. 2x + 5 = 0B. 2x + 5 = xC. 2x + 5 = 5D. 2x = 5

Question 2:

What does the solution of the equation

3x − 7 = 0

represent on the Oxy-plane?

A. The y-intercept of the lineB. The x-intercept of the lineC. The x-value where the two lines intersectD. The y-value where the two lines intersect

Question 3:

Which of the following methods correctly finds the solution of the equation 4x + 1 = 9?

A. Graph the equation y = 4x + 1 and find the x-value when y = 9B. Substitute x = 9 into 4x + 1C. Rewrite the equation as x = 4y + 1D. Solve the equation by dividing both sides by 4 first

Question 4:

Solve the equation:

x/2 − 4 = 0

A. –16B. –8C. 8D. 16

Question 5:

Solve the equation:

x/2 + 3= 7

A. –16B. –8C. 8D. 16

Question 6:

What is the solution to: 9 - 2x = -1?

A. –1B. 1C. 5D. –5

Question 7:

Which value of x makes the equation true?

6(2x - 1) = 18

A. 1B. 2C. 3D. 4

Question 8:

The solution of a linear equation is x = −4. Which equation could produce this solution?

A. 2x + 8 = 0B. 3x + 12 = 3C. 5x − 20 = 0D. 4x + 32 = 0

Question 9:

For what value of k does the equation have Infinitive solutions?

k(x−1)=0

A. 0 B. 1C. -1D. Cannot be determined

Question 10:

For what value of k does the equation k(x-10) = 3 have no solution?

A. 0
B. 10
C. -10
D. 4

Lời giải đúng:

1. Đáp án A

2. Đáp án B

3. Đáp án A

4. Đáp án C

5. Đáp án C

6. Đáp án C

7. Đáp án B

8. Đáp án A

9. Đáp án A

10. Đáp án A