Fermat's Last Theorem - Hành trình lịch sử, tầm quan trọng, ứng dụng thực tiễn và đóng góp to lớn cho nền toán học

Bản chất của Định lý lớn Fermat là gì?

Nói cách khác, nếu n > 2, thì không thể tìm được ba số nguyên dương khác 0 nào mà khi thay vào phương trình trên lại cho ra một đẳng thức đúng. Chẳng hạn, không tồn tại bộ ba số nguyên dương x, y, z nào thỏa mãn phương trình x3+y3=z3 hay x4+y4=z4.

Giải thích phát biểu

• Số nguyên dương: x, y, z phải là các số nguyên dương lớn hơn 0.

• n là số nguyên lớn hơn 2: n = 3, 4, 5, 6, ...

• Phương trình $x^n+y^n=z^n$ chỉ có nghiệm nguyên khi n = 1 hoặc n = 2

  • Với n = 1, có vô số bộ ba số nguyên dương khác 0 có thể thoả mãn được phương trình trên: Ví dụ: 4 + 5 = 9

  • Trong trường hợp khi n = 2, có thể dẫn đến định lý Pythagore trong tam giác vuông (bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông): $x^2+y^2=z^2$. Trong trường hợp này, có vô số bộ ba số nguyên dương khác 0 có thể thỏa mãn phương trình. Ví dụ, có các bộ nghiệm như sau: (3, 4, 5): $3^2+4^2=5^2$ hoặc (5, 12, 13): $5^2+{12}^2={13}^2$. Những bộ nghiệm này có vai trò quan trọng trong hình học, là nền tảng cho việc tính toán trong tam giác vuông.

  • Nhưng nếu n > 2, thì không tồn tại bộ ba số nguyên dương khác 0 (x, y, z) nào thỏa mãn phương trình này.

Hành trình lịch sử và giá trị toán học từ định lý Fermat

Ông theo học tại Đại học Toulouse trước khi chuyển đến Bordeaux vào nửa sau những năm 1620. Từ Bordeaux, Fermat đến Orléans, nơi ông học Luật tại một trường đại học. Ông nhận bằng Luật dân sự và trở thành một nhà Cố vấn tại Quốc hội Toulouse. Do đó, đến năm 1631, Fermat đã là một luật sư và quan chức chính phủ tại Toulouse, và vì chức vụ lúc bấy giờ, ông đổi tên từ Pierre Fermat thành Pierre de Fermat.

Bối cảnh lịch sử phát biểu định lý

Trong khoảng thời gian từ năm 1643 đến năm 1654 là thời gian Fermat mất liên lạc với các đồng nghiệp khoa học ở Paris. Điều này xảy ra do một vài lý do.

Thứ nhất, áp lực công việc đã khiến ông không thể dành nhiều thời gian cho toán học. Thứ hai, cuộc nội chiến Fronde ở Pháp diễn ra và từ năm 1648, gây ra hậu quả nặng nề cho Toulouse. Cuối cùng là trận dịch hạch năm 1651, đã gây ra những hậu quả nghiêm trọng cho cuộc sống của Fermat ở Toulouse và thậm chí là gây nguy hiểm đến tính mạng của ông. Tuy nhiên, chính trong thời gian này, Fermat đã nghiên cứu Lý thuyết số. Trong đó, Fermat đặc biệt nổi tiếng với Định lý Fermat lớn - The last Fermat theorem. [1]

Những nỗ lực chứng minh định lý Fermat lớn kéo dài suốt 350 năm

Định lý cuối cùng của Fermat, được Fermat nêu ra năm 1637, đã được chứng minh cho một số mũ nhỏ trong hai thế kỷ tiếp theo. Đến giữa thế kỷ 19, Kummer chứng minh được định lý cho các số nguyên tố “thông thường”, còn các số nguyên tố “bất thường” phải phân tích riêng. Khoảng năm 1955, Shimura và Taniyama đề xuất giả thuyết nối kết đường cong Elliptic với dạng mô-đun, dù chưa liên quan rõ ràng đến Fermat. Năm 1986, Ken Ribet chứng minh rằng nếu giả thuyết này đúng cho một số trường hợp đặc biệt thì Định lý cuối cùng của Fermat cũng đúng. Dù giả thuyết Taniyama-Shimura bị xem là quá khó, Andrew Wiles quyết định chứng minh nó để gián tiếp chứng minh Định lý của Fermat. Sau 7 năm làm việc, ông công bố bản chứng minh năm 1993, sửa lỗi năm 1994 cùng Richard Taylor, và hoàn tất năm 1995.

Hành trình chinh phục Định lý Fermat vĩ đại của nhà toán học Andrew Wiles

9 năm kiên trì (1986-1995) - Chặng đường chứng minh định lý thiên niên kỷ của Andrew Wiles

Trong những năm đầu sự nghiệp học thuật, Andrew Wiles không thực sự cố gắng giải Định lý cuối cùng của Fermat – và cũng không ai khác làm điều đó, vì bài toán này nhìn chung bị xem là quá khó và được cho là có thể không thể giải được. Một bước ngoặt xảy ra vào năm 1986, khi người ta chứng minh được rằng bài toán này của Fermat có thể được biểu diễn dưới dạng toán đường cong Elliptic và dạng mô đun. Đây là một sự trùng hợp vì bấy giờ, Andrew Wiles cũng đang nghiên cứu về hai lĩnh vực này. Do đó, ông quyết định quay trở lại với bài toán đã từng khiến ông say mê thuở ấu thơ.

Andrew Wiles đã đưa ra một lựa chọn khác thường là tự mình nghiên cứu định lý của Fermat, thay vì hợp tác với các đồng nghiệp. Sau bảy năm nghiên cứu bí mật, Wiles nghĩ rằng ông đã có thể chứng minh được bài toán. Ông quyết định công bố bài chứng minh của mình trong một bài giảng tại hội thảo ở Cambridge, nước Anh với tiêu đề bài thuyết minh của ông, “Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations”. Tuy nhiên, cuối năm đó, một giám khảo đã kiểm tra lại một cách chi tiết và phát hiện ra lỗi trong bài chứng minh của Andrew Wiles. Đây là một sự thất vọng lớn đối với Andrew Wiles. Sau đó, Andrew Wiles bắt tay vào nghiên cứu và cố gắng khắc phục vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ của một trong những học trò cũ của ông, Richard Taylor. Sau một năm làm việc và nghiên cứu, Wiles đã tìm ra cách khắc phục lỗi. “Tôi đã tìm ra khám phá đáng kinh ngạc này”, Wiles vừa khóc vừa nói trong một bộ phim tài liệu của BBC. “Đó là khoảnh khắc quan trọng nhất trong cả sự nghiệp của tôi.” Việc công bố bài chứng minh của một định lý nổi tiếng không chỉ hiếm, mà việc quay lại sửa một lỗi như thế này càng hiếm hơn, bởi việc này không những cần rất nhiều công sức mà thậm chí còn gây kiệt quệ về tinh thần sau lần thử đầu tiên. Sau đó, không tìm thấy bất kỳ lỗ hổng nào trong lần sửa lại, bài chứng minh đã được xuất bản trên Annals of Mathematics vào năm 1995, với tiêu đề “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”. [2]

Những phương pháp toán học cao cấp được áp dụng

Các số nguyên tố

Vào khoảng 1637-1839, người ta cho rằng định lý chỉ được chứng minh với các số nguyên tố 3, 5 và 7. Tuy nhiên, Sophie Germain đã có cách tiếp cận khác, có thể chứng minh toàn bộ bậc của số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã mở rộng nghiên cứu và chứng minh được định lý thoả tất cả các số nguyên tố thông thường, để lại các số nguyên tố bất thường được phân tích riêng lẻ. Dựa trên công trình của Kummer, các nhà toán học khác mở rộng và cho rằng có thể chứng minh cho tất cả các số nguyên tố lên đến bốn triệu.

Đường cong Elliptic và Số học Mô-đun

Vào khoảng năm 1955, nhà toán học người Nhật Goro Shimura và Yutaka Taniyama phỏng đoán rằng có thể có sự liên kết giữa đường cong Elliptic và dạng toán Mô đun, được biết đến vào thời điểm đó là giả thuyết Taniyama-Shimura, và sau cùng là Số học Mô-đun. Tuy nhiên, giả thuyết này lúc bấy giờ không có kết nối rõ ràng với Định lý Fermat lớn.

Giá trị thực tiễn và ý nghĩa khoa học của Định lý Fermat vĩ đại

Hành trình chứng minh Định lý Fermat không chỉ là một cột mốc lịch sử toán học mà còn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các lý thuyết số học: từ phân tích nguyên tố, phép rút gọn đến phân tích nhân tử duy nhất. Những nỗ lực này vừa mang giá trị lịch sử, vừa thúc đẩy những bước tiến quan trọng trong Lý thuyết Số. [3] Thành công trong việc chứng minh đã kết nối những lĩnh vực toán học tưởng chừng không liên quan, mở đường cho các nghiên cứu hiện đại. Về mặt ứng dụng, dù bản thân định lý không trực tiếp áp dụng vào kỹ thuật, nhưng các phương pháp toán học phát triển trong quá trình chứng minh lại có ảnh hưởng sâu rộng.

Trong lĩnh vực giáo dục và triết học toán, định lý này trở thành biểu tượng cho sự bền bỉ, óc tò mò và khả năng tư duy trừu tượng. Một bài toán với phát biểu đơn giản nhưng lời giải cực kỳ phức tạp đã truyền cảm hứng cho nhiều thế hệ nhà toán học, thể hiện sức mạnh của sự hợp tác, sáng tạo và kế thừa tri thức. Định lý còn vượt ra khỏi phạm vi toán học, trở thành nguồn cảm hứng trong văn hóa đại chúng, xuất hiện trong nhiều tác phẩm văn học, điện ảnh và các sự kiện toán học.

Dù không có ứng dụng trực tiếp trong đời sống thường ngày, Định lý Fermat đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học đương đại. Quá trình khám phá và chứng minh định lý đã mở rộng biên giới tri thức nhân loại, khẳng định giá trị của toán học lý thuyết trong sự phát triển của khoa học - công nghệ hiện đại.