Hướng dẫn dùng DESMOS để xác định hệ số góc cùng tung độ và hoành độ gốc của phương trình tuyến tính

Khái niệm lý thuyết về phương trình bậc nhất hai ẩn

y = mx + b

Trong đó:

• m là hệ số góc của phương trình.

• b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình tuyến tính cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard):

Ax + By = C

Trong đó:

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Tung độ gốc và hoành độ gốc trong phương trình bậc nhất hai ẩn

Ngoài ra, hoành độ gốc (x-intercept) của phương trình bậc nhất hai ẩn là giao điểm giữa đường thẳng và trục hoành. Trong trường hợp này, y = 0, và phương trình sẽ được biến đổi thành mx + b = 0 -> x = -b/m. Như vậy, phương trình mx + b sẽ có hoành độ gốc là (-b/m, 0).

Ví dụ: Xét phương trình y = 3x + 6

• Xét y = 0 -> x = -2 -> (-2, 0) là hoành độ gốc của phương trình

• Xét x = 0 -> y = 6 -> (0, 6) là tung độ gốc của phương trình

Khi ta biểu diễn phương trình này trên mặt phẳng toạ độ, ta sẽ thấy phương trình cắt trục Oy tại (0, 6) và trục Ox tại (-2, 0).

Fig. 1. Line y = 3x + 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Hệ số góc và tung độ gốc trong các trường hợp đặc biệt

1. Đường thẳng song song với trục tung (vertical line)

Khi đường thẳng song song với trục tung, phương trình sẽ có những đặc điểm đặc biệt như sau:

Phương trình sẽ có dạng x = h (với h là hằng sô).

• Phương trình này không có hệ số góc vì: x luôn luôn không thay đổi 

  • -> Δx = 0

  • Mà m = Δy/Δx -> Không tồn tại

• Phương trình này không có tung độ gốc vì đường thẳng này không cắt trục tung, trừ trường hợp đặc biệt x = 0 (chính là trục tung).

Ví dụ: Xét phương trình x = 2.

Fig. 2. Line x = 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [2])

Phương trình này không có hệ số góc và tung độ gốc.

2. Đường thẳng song song với trục hoành (horizontal line)

Khi đường thẳng song song với trục hoành, phương trình sẽ có những đặc điểm đặc biệt như sau:

Phương trình sẽ có dạng y = k (với k là hằng số)

• Hệ số góc: m = 0 vì y không thay đổi -> Δy = 0, nên m = Δy/Δx = 0/Δx = 0 (với Δx ≠ 0)

• Tung độ gốc: b, chính là giá trị y tại điểm đường thẳng cắt trục tung.

Ví dụ: Xét phương trình y = 5

Fig. 3. Line y = 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [3])

Phương trình này có hệ số góc bằng 0 và tung độ gốc bằng 5.

3. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ (origin)

Khi đường thẳng đi qua gốc toạ độ, phương trình sẽ có những đặc điểm đặc biệt như sau:

Phương trình y = mx + b sẽ được biến đổi thành phương trình y = mx, vì khi x = 0 thì y = 0

• Hệ số góc: m (bất kỳ số thực nào)

• Tung độ gốc: 0 -> Vì khi x = 0 thì y = 0

Ví dụ: Xét phương trình y = 2x

Fig. 4. Line y = 2x on the Desmos Graphing Calculator. (Source [4])

Phương trình này sẽ có hệ số góc là 2 và tung độ gốc là 0.

Xác định hệ số góc cùng tung/hoành độ gốc của phương trình tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Tổng quan về máy tính khoa học DESMOS

Fig. 5. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Những tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn khai thác DESMOS để xác định tung độ gốc và hoành độ gốc của phương trình tuyến tính

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ dữ kiện đề bài để tìm ra các thông tin liên quan đến phương trình. Ví dụ, với câu hỏi Sample question 1, ta có thể suy ra được.

• Phương trình được cho: 3x + y = 9

• Đề bài cần tìm: tung độ gốc (y-intercept)

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong đó:

Nhập ở dòng đầu tiên: Phương trình được cho

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của đường thẳng tương ứng.

Bước 3: Người học quan sát vị trí giao nhau của đường thẳng với trục Oy (để tìm tung độ gốc) và trục Ox (để tìm hoành độ gốc). Người học có thể bấm vào các giao điểm này để hiện lên tọa độ.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

Consider the following equation: 3x + y = 9

Which ordered pair represents the y-intercept of the graph of this equation in the xy-plane?

A. (0, 9)B. (3, 0)C. (0, −9)D. (−3, 0)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: 3x + y = 9

• Đề bài cần tìm: tung độ gốc (y-intercept)

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: 3x + y = 9

Fig. 7. Line 3x + y = 9 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng. Người học có thể bấm vào giao điểm giữa đường thẳng và trục Oy để thấy rằng giao điểm có toạ độ (0, 9).

Bước 4: Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án:

• 3 ⋅ 0 + 9 = 9 -> 9 = 9

=> Chọn đáp án A.

Lưu ý: Trong một số câu hỏi, đôi khi đề bài có thể diễn đạt rất cụ thể “x-coordinate of the x-intercept of the line …”. Khi đó người học cần lưu ý đề bài đang yêu cầu tìm giá trị x hay y để chọn đáp án phù hợp nhất.

Hướng dẫn dùng DESMOS để xác định hệ số góc của phương trình tuyến tính

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ dữ kiện đề bài để tìm ra các thông tin liên quan đến phương trình.

Bước 2: Người học cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”. Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator.

DESMOS sẽ tự động cho thấy các điểm này trên mặt phẳng toạ độ.

Bước 3: Người học có thể thấy một biểu tượng đường thẳng ở trên giao diện, và khi rê chuột trên biểu tượng này sẽ thấy dòng chữ “add regression”.

Sau khi nhấn vào "add regression" thì Desmos sẽ cho người học một giao diện với các dạng regression để người học chọn. Desmos sẽ để mặc định là "Linear Regression" và đây chính là dạng người học cần dùng, vì đây là phương trình tuyến tính dạng y = mx + b.

Người học bây giờ có thể thấy hệ số góc của phương trình tuyến tính, chính là phần hệ số trước x.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

A line crosses the x-axis at (4, 0) and the y-axis at (0, 2).

What is the slope of this line?

A –1/2B. 1/2C. -2D. 2

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Giao điểm với trục Ox (hoành độ gốc): (4, 0).

• Giao điểm với trục Oy (tung độ gốc): (0, 2).

Bước 2: Trước hết, người học lập bảng bằng cách ấn vào đầu “+” trong giao diện và chọn “table.”

Fig. 8. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [8])

Sau khi bấm vào table, người học nên thấy được một bảng như sau:

Fig. 9. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Sau khi có được giao diện như trên, người học bắt đầu nhập toạ độ vào bảng. Người học nên thấy được một bảng như sau.

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Bây giờ người đọc bấm vào “add regression” để hiển thị đường thẳng đi qua hai điểm này,

Fig. 10. The Add Regression function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])

Bây giờ, người học có thể thấy giao diện hiện “equation” là y = -0.5x + 2. Ta chuyển đổi -0.5 thành -1/2  -> Chọn đáp án A.

Fig. 11. Line -0.5x + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Bước 4: Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án:

• -0.5 ⋅ 4 + 2 = 0 -> 0 = 0 -> Đúng

• -0.5 ⋅ 0 + 2 = 2 -> 2 = 2 -> Đúng

=> Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập áp dụng

Question 1:

Which equation represents a line whose y-intercept is (0, −2)?

A.  y = 3x − 2B. y = -2x + 3C. y = 2x + 3D. y = -3x + 2

Answer: A

Question 2:

Which equation represents a line whose x-intercept is (5, 0)?

A. y = x + 5B. y = x - 5C. y = 2x - 5D. x + y = -5

Answer: B

Question 3:

The equation of a line is given:

y = 2x - 6

Which ordered pair represents the x-intercept of the graph of this equation in the xy-plane?

A. (0, 6)B. (0, −6)C. (−3, 0)D. (3, 0)

Answer: D

Question 4:

The intercepts of a line are (−2, 0) and (0, −4).

What is the slope of the line?

A.−2B. −1/2C. 2D. 1.4

Answer: A

Question 5:

A line intersects the x-axis at (−4, 0) and the y-axis at (0, 8).

Which statement best describes the slope of the line?

A. The slope is positive and equal to 2B. The slope is positive and less than 1C. The slope is negative and equal to −2D. The slope is negative and greater than −1

Answer: A

Question 6:

What is the slope of the line represented by the equation

y = -3x + 7?

A. 3B. -3C. 7D. -7

Answer: B

Question 7:

Consider the following equation:

2x + 5y = 6

If the equation’s x-intercept is (a, 0) and the y-intercept is (0, b), what is the value of 2a - 4b?

A. 1B. 2C. 1.2D. 0

Answer: C

Question 8:

A small business tracks its daily profit, y, in dollars, based on the number of items sold, x. The relationship is modeled by the equation:

y = 25x - 500

What is the x-intercept of this equation and what does it represent in this situation?

A. (20, 0), the number of items sold when the profit is $0B.(-20, 0), the cost to produce one itemC. (0, 500), the maximum profit the business can earnD. (0, -500), the profit when no items are sold

Answer: A

Question 9:

The graph of a line passes through the points (−2, 5) and (4, −1).

If the slope of the line is m. What is the value of -3m + 1?

A. 1B. -4C. 4D. 3

Answer: C

Question 10:

A cyclist rides along a straight road. A graph shows that the cyclist is at mile 5 after 1 hour and at mile 17 after 4 hours.

What is the slope of the graph that shows distance traveled (in miles) as a function of time (in hours)?

A. 3
B. 4
C. 6
D. 12

Correct answer: B