Hướng dẫn dùng DESMOS để xác định phương trình tuyến tính đi qua tọa độ của hai điểm

Cơ sở lý thuyết về phương trình tuyến tính dựa trên tọa độ của hai điểm

y = mx + b

Trong đó:

• m là hệ số góc của phương trình, có công thức là

  $m=\frac{y2-y1}{x2-x1}$

• Ngoài ra, b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình tuyến tính cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard) là:

Ax + By = C

Trong đó:

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Hướng dẫn xác định phương trình tuyến tính dựa trên tọa độ của hai điểm 

Ví dụ: Ví dụ, cho hai điểm A(1, 2) và B(3, 6)

Trước hết, ta tính hệ số góc m của đường thẳng đi qua hai điểm A và B theo công thức:

m=y2−y1x2−x1Lưu ý, công thức này cần điều kiện là x₁ ≠ x₂ (hai điểm không có cùng hoành độ, tức đường thẳng không song song với trục tung).

Thế tọa độ hai điểm vào công thức, ta được:

m=6−23−1=2Sau khi tìm được hệ số góc m = 2, ta thay tọa độ một trong hai điểm (chẳng hạn điểm A(1, 2) vào phương trình y = mx + b để tìm b:

2 = 2 x 1 + b  -> b = 0

Vậy phương trình tuyến tính đi qua hai điểm A và B là: y = 2x

Fig. 1. Line y = 2x on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Phương trình tuyến tính dựa trên tọa độ hai điểm trong bài Digital SAT

Tổng quan về máy tính khoa học DESMOS

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Những chức năng cơ bản của DESMOS

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Cách dùng DESMOS để xác định phương trình tuyến tính dựa trên tọa độ hai điểm

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ phương trình để xác định toạ độ của 2 điểm được đề bài cho cũng như là xác định đề bài đang yêu cầu người học tìm gì.

Bước 2: Người học cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”. Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator. Chức năng bảng này sẽ giúp người học điền được toạ độ của mọi điểm đề bài cho.

DESMOS sẽ tự động cho thấy các điểm này trên mặt phẳng toạ độ.

Bước 3: Người học có thể thấy một biểu tượng đường thẳng ở trên giao diện, và khi rê chuột đến biểu tượng này sẽ thấy dòng chữ “add regression”. Người học bấm vào biểu tượng này để DESMOS vẽ đường thẳng và cho người học thấy phương trình tuyến tính đi qua hai điểm được cho.

Sau khi nhấn vào "add regression" thì Desmos sẽ cho người học một giao diện với các dạng regression để người học chọn. Desmos sẽ để mặc định là "Linear Regression" và đây chính là dạng người học cần dùng, vì đây là phương trình tuyến tính.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS sẽ hiện hệ số góc dạng phân số dưới dạng số thập phân (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333). Nếu vậy, người học nên luôn kiểm tra lại bằng việc viết hệ số góc của các đáp án vào DESMOS để các giá trị này được biến đổi thành dạng thập phân, giúp cho người học lựa chọn chính xác.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại tọa độ hai điểm vào trong đáp án để xét tính chính xác.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

A line passes through the points (2, −1) and (6, 7).

Which equation represents this line?

A. y = 2x − 5B. y = x + 1C. y = 3x − 7D. y = 4x − 9

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hai điểm: A(2, -1) và B(6, 7)

• Đề bài bắt tìm phương trình dưới dạng y = mx + b

Bước 2: Người học bắt đầu bằng việc tạo bảng.

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [4])

Sau đó, người học cần cho các toạ độ của điểm vào trong phần bảng đã lập được.

Fig. 5. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Người học nên có được một bảng hiện dữ liệu như sau.

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Bây giờ người đọc bấm vào “add regression” để hiển thị đường thẳng đi qua hai điểm này.

Fig. 6. The Add Regression function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bây giờ, người học có thể thấy giao diện hiện “equation” là y = 2x - 5.

Fig. 7. Line y = 2x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [7])

Bước 4: Thử lại toạ độ điểm vào hàm số tìm được để kiểm tra đáp án:

• 2 x 2 - 5 = -1 (Đúng)

• 2 x 6 - 5 = 7 (Đúng)

=> Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập áp dụng 

Question 1:

A line passes through the points (2, 5) and (4, 1).

Which of the following is an equation of the line in standard form?

A. 2x + y = 9B. x - 2y = -8C. 2x + 2y = 12D. 2x − y = −12

Answer: A

Question 2:

A linear equation passes through the points (0, 7) and (6, 1)

Which statement best describes the equation of the line?

A. The slope is −7/6​, and the y-intercept is 0B. The slope is positive, and the y-intercept is 1C. The slope is −1, and the y-intercept is 6 D. The slope is negative, and the y-intercept is 7

Answer: D

Question 3:

Which equation represents a line that passes through both (-3, 4) and (3, 10)?

A. y = 2x + 4B. y = x + 7C. y = x + 1D. y = 3x + 1

Answer: B

Question 4:

The graph of a line includes the points (-4, 1) and (2, -5).

Which of the following is the slope of the line?

A. -2B. -3/2C. -1D. 3/2

Answer: C

Question 5:

A line passes through the points (4, -1) and (8, 7).

Which of the following equations does NOT represent this line?

A. y = 2x − 9B. 2x - y = 9C. y + 1 = 2(x - 4)D. y = -2x + 15

Answer: D

Question 6:

A table shows values from a linear function.

Which equation represents the function?

A. y = −2x + 3B. y = −x + 4C. y = −2x + 7D. y = x - 2

Answer: A

Question 7:

A line passes through the points A(1/2, 5/3) and B(7/2, 1/3)

Which equation represents this line?

A. y=−49x+2B. y=−49x+179C. y=−23x+179D. y=23x+1

Answer: B

Question 8:

A line passes through the points (a, 4) and (6, -2), where a ≠ 6.

The slope of the line is −1.

Which equation represents this line?

A. y = −x + 2B. y = -x + 6C. y = −x + 4D. y = -x + 8

Answer: C

Question 9:

A line passes through the points (-1, 2) and (3, -6).

Which points below also pass through this line?

A. (0, 0), (2, 5)B. (1, -2), (-3, 6)C. (0, -2), (2, 0)D. (0, 0), (4, 2)

Answer: B

Question 10:

A delivery drone flies at a constant altitude while moving horizontally. At 2 seconds after launch, the drone is 48 meters from the launch point. At 8 seconds after launch, it is 120 meters from the launch point.

Which equation most accurately represents the distance d (in meters) from the launch point in terms of time t (in seconds)?

A. d = 12t + 24
B. d = 12t
C. d = 9t + 30
D. d = 15t - 18

Correct answer: A