Những nguyên tắc cơ bản về lũy thừa (exponent) và phép khai căn (radical) trong bài thi SAT® Math

Khái niệm cơ bản về lũy thừa và căn thức

Phép tính lũy thừa

Số mũ trong tiếng Anh được gọi là “exponent”, là một cách biểu diễn lũy thừa của một số. Số mũ được sử dụng để biểu thị phép nhân lặp lại của một số. Nói cách khác, khi viết a mũ n, a là cơ số và n là số mũ, nghĩa là a được nhân với chính nó n lần.

Ví dụ:

34=3⋅3⋅3⋅3=8153=5⋅5⋅5=125

Cách đọc:

• a² đọc là “a squared”. Ví dụ: 3² đọc là three squared

• a³ đọc là “a cubed”. Ví dụ: 3³ đọc là three cubed

• $6^4$ đọc là “six to the fourth power” hoặc “six to the power of four”

• các số mũ 5, 6, 7,… đọc tương tự như số mũ 4.

Phép toán khai căn

Căn bậc trong tiếng Anh gọi là “radical”, là phép toán ngược lại của số mũ. Nói cách khác, nếu nâng một số lên lũy thừa x thì căn bậc x của kết quả đó sẽ đưa ta trở lại số ban đầu.

• Căn bậc 2 ký hiệu là: $\sqrt{a}$ và đọc là “the square root of a”. Ví dụ: $\sqrt{2}$ (the square root of 2)

• Căn bậc 3 ký hiệu là: $\sqrt[3]{a}$ và đọc là “the cube root of a”. Ví dụ: $\sqrt[3]{3}$ (the cube root of 3)

• Căn bậc 4 ký hiệu là: $\sqrt[4]{a}$ và đọc là "the fourth root of a". Ví dụ: $\sqrt[4]{3}$ (the fourth root of 3)

• Các căn bậc sau đó như: 5, 6, 7,… có cách đọc tương tự căn bậc 4.

Những nguyên tắc quan trọng về lũy thừa và căn bậc trong SAT Math

Nguyên lý tính lũy thừa

1. Nhân các số có cùng cơ số (Multiplication of exponents with the same base)

Khi nhân các số có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại với nhau.

am⋅an=am⋅n

Ví dụ: 32⋅33=352. Chia các số có cùng cơ số (Division of powers with the same base)

Khi chia các số có cùng cơ số, ta lấy số mũ của số bị chia trừ cho số mũ của số chia (hay lấy số mũ của tử số trừ cho số mũ của mẫu số.)

aman=am−n

Ví dụ: 2522=23

3. Lũy thừa của lũy thừa (Power of a power)

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, người học cần giữ nguyên cơ số và nhân các số mũ với nhau.

(am)n=am⋅nVí dụ: (23)2=26

4. Lũy thừa của một tích (Power of a product)

Lũy thừa của một tích bằng phép nhân các lũy thừa với nhau. Ngược lại, khi nhân các số có cùng số mũ, người học nhân các cơ số và giữ nguyên số mũ.

(a⋅b)n=an⋅bn

Ví dụ: (3⋅2)3=33⋅235. Lũy thừa của một thương (Power of a quotient)

(ab)n=anbn

Với điều kiện b ≠ 0

Ví dụ: (45)2=4252

6. Số mũ bằng 0

Lũy thừa 0 của mọi số đều bằng 1.

a0=1

với điều kiện a ≠ 0

Ví dụ: 50=1

7. Số mũ bằng 1

Một số có số mũ bằng 1 thì bằng chính số đó.

a1=aVí dụ: 41=48. Số mũ âm (Negative exponent)

Khi một cơ số có số mũ là số âm, ta lấy 1 chia cho cơ số có số mũ dương của số đó.

a−n=1an

với điều kiện a ≠ 0

Ví dụ: 3−2=132

Nguyên tắc sử dụng phép khai căn

1. Khai phương một tích

Khi khai phương một tích, người học khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

a⋅b=a⋅bĐiều kiện: a, b không phải là số âm

Ví dụ: 36=4⋅9=4⋅9=2⋅3=62. Khai phương một thương

Muốn khai phương một thương, ta có thể khai phương lần lượt từng thừa số a và thừa số b. Sau đó chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.

ab=abĐiều kiện: a không âm, b dương

Ví dụ: 259=259=53

3. Chuyển đổi giữa lũy thừa với số mũ và căn bậc

amn=amnVí dụ: 43=4324. Trục căn thức ở mẫu

Để khử căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với một biểu thức thích hợp

ab=ab⋅bb=abbVí dụ: 12=12⋅22=225. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Để đơn giản hóa căn bậc m, người học cần phân tích hệ số dưới căn bậc hai thành tích của các số, một trong số đó là ước chính phương lớn nhất của hệ số dưới căn bậc m. Sau đó viết căn bậc m trên mỗi thừa số và đơn giản hóa.

xm=am⋅bm=amm⋅bm=a⋅bmVí dụ:18=9⋅2=32⋅2=32⋅2=326. Cộng/ trừ căn thức

Để cộng/ trừ các căn bậc với nhau, số hoặc biểu thức bên dưới dấu căn phải giống nhau.

ax+bx=(a+b)⋅xVí dụ: 23+53=73

Những sai lầm phổ biến khi làm bài về lũy thừa và căn thức trong SAT Math

Ví dụ, nhiều người học nhầm lẫn rằng:am+an=am+nvì sự có mặt của dấu cộng trong phép tính.

Tương tự, người học cũng cần chú ý tránh mắc lỗi khi thực hiện phép trừ: am−an=am−nPhép tính này là sai.

2. Nhầm lẫn về số mũ âm

Một số có số mũ âm được biểu diễn là: a−nCó khả năng một số người học sẽ nhầm tưởng rằng kết quả của nó là mộ số âm. Nhưng thật ra: a−n=1anNhư vậy, một số có số mũ âm vẫn cho kết quả là một số dương.

3. Sai lầm về căn bậc và số mũ phân số

Một số người học có thể quên rằng căn bậc có thể được viết dưới dạng số mũ phân số.

Ví dụ: a=a12Ví dụ trên được suy ra từ công thức: amn=amn4. Nhầm lẫn khi giải phương trình có số mũ và căn

Lỗi này xảy ra khi người học bỏ qua nghiệm âm khi giải phương trình với căn bậc chẵn. Ví dụ, khi giải phương trình x²=16, người học thể chỉ lấy nghiệm x = 4 mà quên rằng x = −4 cũng là kết quả đúng. Vì vậy, người học cần nhớ rằng khi căn bậc chẵn có thể có hai nghiệm (dương và âm), trừ khi có yêu cầu khác trong đề.

5. Nhầm lẫn khi nhân/ chia căn thức

Lỗi này xảy ra khi người học tính sai khi nhân hoặc chia căn với hệ số bên ngoài, chẳng hạn như kết quả của: 23⋅32có thể bị nhầm thành:65thay vì kết quả đúng là:66

Luyện tập áp dụng kiến thức

A.ax+1B. ax−1C. a1−xD. ax6

Câu 2. If x23xm=x15 and (x4)n=x20 then m.n = ?

A. 13B. 24C. 28D. 40

Câu 3. If x=6 and y² = 12 then 4xy=?

A. 322B. 23C. 32D. 223

Câu 4. Which of the following expressions is equivalent to the one given below?

(x2n+1)3xn⋅x3n+3A. x²B. 1x2C. x2nD. 1x2n

Câu 5. Which of the following expressions is equal to a−12 for all values of a where the expression is defined?

A. aa2B. aaC. 12aD. 12a

Câu 6. If 4x+4x+4x+4x=16y then x = ?

A. 2y - 1B. 2y + 1C. y - 2D. y + 2

Câu 7. Which expression is equivalent to (9x2y6)−12

A. 13xy3B. 3xy³C. 3xy3D. xy33

Câu 8. If a=2p then a32=?

A. p3B. 2p²C. 6p³D. 8p³

Câu 9. If 3x=81 and 2x+y=64 then xy=?

A. 1B. 32C. 2D. 52

Câu 10. If 10k=64 what is the value of 10k2+1?

A. 18B. 42C. 80D. 81

Câu 11. If 3m+1−3m=a what is 3m+2in terms of a?

A. 43aB. 3aC. 92aD. 9a

Câu 12. Which of the following is equal to xy3(yx)2

A. 1y52xB. 1y⋅x23C. 1y53x23D. x3y−1

Câu 13. If 24⋅42=16a then a = ?

Câu 14. If x7=7777 and x6y=11 What is the value of xy?

Câu 15. If y=22p−1 and z = p - 2, which is the value of yz when p = 2.5

Câu 16. The expression x2x3is equivalent to

A. x3B. 1xC. xD. 1x23

Câu 17. If n and p are positive integers such that 8(2p)=4n what is n in terms of p?

A. p+23B. 2p3C. p+32D. 3p2

Câu 18. If k = 3, what is the solution of the equation below?

2x−k=x−6A. {4, 12}B. {3}C. {4}D. {12}

Câu 19. When x−1−1 is divided by x - 1, the quotient is

A. -1B. −1xC. 1x2D. 1(x−1)2

Câu 20. Function k is defined by the equation below. If k(-8) = 375, what is the value of a?

k(x)=aa(1−x)A. 25B. 75C.125D. 625

Lời giải chi tiết và phân tích

Câu 1. Có 6=axNhư vậy: 6a=axa6a=ax−1(áp dụng quy tắc chia các số có cùng cơ số)

→ Đáp án là B.

Câu 2. Có: x23xm=x15x23−m=x15Suy ra: 23 - m = 15

→ m=8

Ta có: (x4)n=x20x4n=20Suy ra: 4n = 20

→ n = 5

Như vậy: m⋅n=8⋅5=40→ Đáp án là D.

Câu 3. Có y²=12 → y=12=4⋅3=4⋅3=23Vậy x⋅y=6⋅23=2⋅6⋅3=218=29⋅2=29⋅2=2⋅3⋅2=62Suy ra: 4xy=462=232Có: 232⋅22=223⋅2=23→ Đáp án là B.

Câu 4. Có: A=(x2n+1)3xn⋅x3n+3Phân tích tử: (x2n+1)3=x3(2n+1)=x6n+3Phân tích mẫu: xn⋅x3n+3=xn+3n+3=x4n+3A=x6n+3x4n+3=x6n+3−4n−3=x2n→ Đáp án là C.

Câu 5. Có: a−12=1aNhân tử và mẫu với a

Có: 1a⋅aa=a(a)2=aa→ Đáp án là B

Câu 6. 4x+4x+4x+4x=16y4⋅4x=(42)y4x+1=42ySuy ra: x + 1 = 2y → x = 2y - 1

→ Đáp án là A.

Câu 7. (9x2y6)−12=19x2y6=19⋅x2⋅(y3)2=13xy3→ Đáp án là A.

Câu 8.

a=2pa12=2p(a12)3=(2p)3a32=8p3→ Đáp án là D.

Câu 9.

Có phương trình 1: 3x=813x=9⋅9=32⋅323x=34Suy ra: x= 4

Có phương trình 2: 2x+y=642x+y=8⋅82x+y=23⋅23=26Suy ra: x + y = 6

Thế x = 4 vào x + y = 6, có: 4 + y = 6 → y = 2

xy=42=2→ Đáp án là C.

Câu 10.

Có: 10k=64Nhân 2 vế với ½ : (10k)12=641210k2=6410k2=8Nhân 2 vế với 10: 10k2⋅10=8⋅1010k2+1=80→ Đáp án là C.

Câu 11.

Có: 3m+1−3m=a3m⋅3−3m=a2⋅3m=a3m=a2Nhân 2 vế với 3²3m⋅32=a2⋅323m+2=9a2→ Đáp án là C.

Câu 12.

Có: x⋅y3(yx)2=(xy)13y2x=x13y13xy2=x(13−1)y(13−2)=x−23y−35=1x23⋅y53

→ Đáp án là C.

Câu 13. Có: 24⋅42=16a24⋅(22)2=(42)a24⋅24=42a2(4+4)=(22)2a28=24aSuy ra: 8 = 4a → a = 2

Câu 14. Có: x7=7777x6⋅x=7777x6=7777xx6=7777xSuy ra7777x:y=117777xy=11Vậy xy = 7777 : 11= 707

Câu 15.

Có phương trình 1: y=22p−1

và phương trình 2: z = p - 2

Thế p=2.5=52vào phương trình 1, có: y=22⋅52−1=24=16vào phương trình 2, có: z=52−2=12Vậy, ta có: yz=1612=16⋅2=32→ Đáp án là 32.

Câu 16.

Có: x2x3=x2x32=x2−32=x12=x→ Đáp án là C.

Câu 17. Có:

8⋅(2p)=4n23⋅2p=(22)n23+p=22n3+p=2nn=p+32→ Đáp án là D.

Câu 18.

Thế k = 3 vào phương trình 2x−k=x−6Có: 2x−3=x−6Bình phương 2 vế: 4(x−3)=x2−12x+364x−12=x2−12x+36x2−16x+48=0(x−4)⋅(x−12)=0Suy ra x - 4 = 0 → x = 4

Hoặc x - 12 = 0 → x = 12

Kiểm tra các nghiệm. Đáp án x = 4 không đúng vì khí thế x = 4 vào phương trình, có:

24−3≠4−624−3≠4−6Do đó, đáp án duy nhất là x = 12.

→ Đáp án là D.

Câu 19.

Nhân tử và mẫu với x, có: x−1−1x−1=x−1−1x−1⋅xx1−xx⋅(x−1)=−(x−1)x⋅(x−1)=−1x→ Đáp án là B.

Câu 20.

Thế x=-8 vào phương trình

$a\sqrt{a(-x)}$Ta có: $a\sqrt{a(1-(-8))}=375$$a\sqrt{9a}=375$$3a\sqrt{a}=375$$a^{1+\frac{1}{2}}=\frac{375}{3}$$a^{\frac{3}{2}}=125$$a={125}^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2=5^2=25$→ Kết quả chính xác là A.

Thực hành nâng cao: Bộ câu hỏi luyện tập về lũy thừa (Exponents) trong SAT Math bao gồm đáp án chi tiết và hướng dẫn giải

Kết luận quan trọng

SAT® là nhãn hiệu đã đăng ký của College Board, không liên kết với và không xác nhận website này.