Buzz
Độ dài cung tròn là gì?
Có hai công thức chính được sử dụng để tính độ dài cung, tùy theo đơn vị của góc:
Khi góc ở tâm được cho bằng radian: Arc Length = θ × r
Khi góc ở tâm được cho bằng độ: Arc Length = (θ / 360) × 2πr
Trong đó, θ là số đo góc ở tâm, r là bán kính của đường tròn. Nếu đề bài cho đường kính thì cần chia đôi để tìm bán kính.
Các câu hỏi về cung tròn thường không phức tạp về mặt tính toán, nhưng lại dễ gây nhầm lẫn nếu không cẩn thận trong việc xử lý đơn vị góc hoặc xác định nhầm giá trị bán kính. Ngoài ra, đề bài SAT đôi khi yêu cầu tìm một đại lượng khác, chẳng hạn như bán kính hoặc góc, dựa trên độ dài cung đã cho.
Do đó, hiểu sâu bản chất công thức, luyện tập nhiều dạng bài và kiểm tra đơn vị cẩn thận là những bước quan trọng để xử lý nhanh và chính xác các câu hỏi liên quan đến Arc Length trong đề thi SAT.
Bài viết liên quan: Circle theorems trong SAT Math - Chiến lược làm bài và bài tập
Chiến thuật giải bài toán Arc Length trong SAT Math
Để làm thật tốt dạng bài thi này, thí sinh cần hiểu rõ định nghĩa Arc Length là gì và trong bài toán phần kiến thức này sẽ được hỏi như thế nào.
Arc Length là phần chu vi ứng với một góc ở tâm. Vì toàn bộ chu vi đường tròn là 2πr, nên một phần của chu vi được tính theo tỷ lệ của góc ở tâm trên tổng góc toàn vòng tròn (360 độ hoặc 2π radian). Dạng bài có thể yêu cầu:
Tính độ dài cung khi biết góc và bán kính
Tìm bán kính khi biết độ dài cung và góc
Tìm góc khi biết độ dài cung và bán kính
Tìm phần trăm vòng tròn mà cung đó chiếm
Bước 1: Xác định đơn vị của góc
Đây là một bước mà các thí sinh nếu làm bài một cách quá vội vã và chủ quan có thể gặp phải. Đây là bước quan trọng nhất để thí sinh kiểm tra xem để áp dụng đúng công thức hay chưa. Một khi xác định sai đơn vị góc, thí sinh có thể cho ra một đáp án lệch rất nhiều so với đề bài.
Nếu đề bài cho góc ở tâm bằng độ (degree), thí sinh hãy sử dụng công thức:
Arc Length = (θ / 360) × 2πr |
|---|
Nếu đề bài cho góc ở tâm bằng radian, sử dụng công thức:
Arc Length = θ × r |
|---|
Các câu hỏi đôi khi có thể yêu cầu thí sinh cần biết cách biến đổi giữa hai đơn vị góc và radian. Nếu cần chuyển đổi từ độ sang radian, thí sinh có thể biến đổi như sau:θ (radian) = θ (degree) × (π / 180)
Ví dụ: 60 độ = 60 × (π / 180) = π/3 radian.
Ví dụ: A circle has a radius of 18 cm. What is the length of the arc that subtends a central angle of 5π/6 radians?
A. 12πB. 15πC. 18πD. 30π
Góc ở tâm = 5π/6 radian
Tính bằng công thức góc ở tâm bằng radian:
Arc length (l) = 5π/6 rad x 18 = 15π
→ B. 15π
Bước 2: Phân tích đề bài một cách rõ ràng và trực quan
Đọc kỹ đề bài để xác định rõ các thông tin:
Góc đã cho là góc gì (góc ở tâm, góc nội tiếp), có số đo góc là bao nhiêu.
Độ dài bán kính, đường kính
Đơn vị
Đại lượng nào cần tính toán.
Việc xác định sai bán kính (chẳng hạn hiểu nhầm giữa bán kính và đường kính) có thể dẫn đến lỗi sai phổ biến. Trong một số bài, góc có thể được biểu thị dưới dạng phần trăm, phần phân số hoặc số radian nhỏ như π/6, π/4,…
In a circle with center O, chord AB subtends an inscribed angle of 30° at point C on the circle (that is, ∠ACB=30°). The diameter of the circle is 20 cm.
What is the length of arc AB?
A. 5/3πB. 20/3πC. 10/3πD. 20π
Tóm tắt:
∠ACB=30°
diameter = 20cm.
Cách làm đúng:
Góc ở tâm = 60°
Bán kính: r = 10
L=60/360×2π(10)=10/3π
→ Đáp án là C.
Khi làm bài này, các thí sinh có thể mắc một số các lỗi sau:
Lỗi 1 — Nhầm góc nội tiếp với góc ở tâmNếu dùng luôn 30° (nhầm ∠ACB là góc ở tâm) nhưng bán kính đúng r=10:
L1=30/360×2π(10)=5/3π.
→ Kết quả sai: A. 5/3π
Lỗi 2 — Nhầm bán kính với đường kínhNếu dùng đúng góc ở tâm 60° (số đo góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp) nhưng lại sử dụng độ dài đường kính là 20
L2=60/360×2π(20)=20/3π.
→ Kết quả sai: B. 20/3π.
Lưu ý thú vị (bẫy): Nếu một người vừa nhầm góc (dùng 30° thay vì 60°) vừa nhầm bán kính = 20, thì L=30/360×2π(20)=10/3π, tức là cho đúng giá trị C — nhưng với lý do sai. Đây là cái bẫy: hai lỗi có thể triệt tiêu nhau và cho ra kết quả đúng về mặt số, nên luôn kiểm tra lại lý luận chứ đừng chỉ tin kết quả.
Bước 3: Sử dụng suy luận và kiểm tra lại kết quả của bạn
Một cách kiểm tra kết quả nhanh là so sánh với chu vi đường tròn. Nếu cung chiếm 90 độ (¼ vòng tròn), thì độ dài cung phải là ¼ của chu vi. Nếu kết quả vượt quá chu vi hoặc có giá trị âm, chắc chắn có lỗi sai. Ngoài ra, nên kiểm tra lại đơn vị, đặc biệt khi chuyển đổi giữa độ và radian.
Những điều cần lưu ý
Thứ nhất, không nhầm lẫn giữa bán kính (radius) và đường kính (diameter). Trong công thức tính Arc Length, r là bán kính. Nếu đề bài cho đường kính, cần chia 2 để ra bán kính. Đây là lỗi rất phổ biến.
Thứ hai, phải xác định đúng đơn vị của góc. Nếu sử dụng sai công thức cho sai đơn vị, kết quả sẽ hoàn toàn sai lệch. Một mẹo nhỏ là nếu thấy công thức có 2πr, nhiều khả năng đề bài cho độ; nếu chỉ có θ × r, đề cho radian.
Thứ ba, không làm tròn π trừ khi đề bài yêu cầu. Một số câu hỏi sẽ yêu cầu giữ kết quả dưới dạng biểu thức chứa π, ví dụ: “Express your answer in terms of π”. Trong trường hợp này, bấm máy ra số thập phân sẽ bị trừ điểm.
Thứ tư, nên luyện tập cách chuyển đổi giữa độ và radian thành thạo. Việc nhầm lẫn trong chuyển đổi này thường dẫn đến sai số lớn.
Cuối cùng, cần đọc kỹ đề bài để xác định mục tiêu chính: có bài yêu cầu tính độ dài cung, nhưng cũng có bài hỏi ngược lại (ví dụ: cung chiếm bao nhiêu phần trăm chu vi, hoặc tìm giá trị còn thiếu khi biết phần còn lại).
Ví dụ: The circle above with center O has a circumference of 48. What is the length of minor arc AB?
Cách giải 1:
Một hình tròn có 360 độ. Trong hình trên, ta thấy O là tâm đường tròn. Hai đường kính trong hình tròn này lại vuông góc với nhau → Góc ở tâm AOC có số đo bằng 90°.
Chu vi hình tròn bằng 2πr = 48 cm.
→ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn có đơn vị số đo góc = độ:
Minor arc AC’s length = 90°/360° x 2πr = 90°/360° x 48 = 12 cm.
Cách giải 2:
Một hình tròn có 360 độ. Trong hình trên, ta thấy O là tâm đường tròn. Hai đường kính trong hình tròn này lại vuông góc với nhau → Chia đường tròn thành 4 cung bằng nhau, trong đó có cung AC.
→ Độ dài cung nhỏ AC = Chu vi hình tròn/4 = 12 cm.
Bài tập áp dụng
Lời giải:
Bán kính: r = 10 cm
Góc ở tâm = 90°
Sử dụng công thức tính độ dài cung khi cho góc ở tâm sử dụng đơn vị độ:
Arc Length = (90°/360°) × 2π × 10 = (1/4) × 20π = 5π cm.
→ Đáp án: Cung này có độ dài 5π cm.
Bài 2: Một cung tròn có độ dài là 6π cm và bán kính là 9 cm. Tính số đo góc ở tâm theo độ.
Lời giải:
Độ dài cung: 6π cm.
Bán kính: r = 9cm
Arc Length = (θ°/360°) × 2πr → 6π = (θ°/360°) × 18π → θ = 120°.
Bài 3:
Points A, B, and C lie on the circle shown. On this circle, minor arc AB has a length of 45 centimeters and major arc ACB has a length of 185 centimeters. What is the circumference, in centimeters, of the circle shown.
Lời giải:
Cung nhỏ AB = 45 cm
Cung lớn ACB = 185 cm
Chu vi hình tròn = ?
Ta thấy cung nhỏ AB và cung lớn ACB đều có cùng kết thúc tại hai điểm và hai cung này tạo thành một hình tròn → Hình tròn này có chu vi bằng tổng hai cung tròn AB và ACB.
Vậy ta có chu vi hình tròn = 45 + 185 = 230 cm.
Bài 4: Một bánh pizza có đường kính 12 inches. Một lát bánh chiếm 60° của hình tròn. Tính độ dài phần viền cong của lát bánh.
Lời giải:
Bán kính: r = 6
Góc ở tâm = 60°
Độ dài phần viền cong của lát bánh= (60/360) × 2π × 6 = (1/6) × 12π = 2π inches.
Bài 5: Một cung tròn có độ dài 8 cm và góc quét là π/2 radian. Tính bán kính của hình tròn.
Lời giải:
Độ dài cung tròn = 8 cm
Góc ở tâm = π/2 radian
→ Arc Length = θ × r → 8 = π/2 × r → r = 8 × (2/π) = 16/π.
Tiếp tục đọc:
Unit circle trigonometry - Các chiến lược và bài tập liên quan
Right triangle trigonometry SAT math - Các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Tác giả: Phạm Nam Phương
