Buzz
Tổng quan về bài toán đồ thị hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai một biến có dạng tổng quát như sau:
y = f(x) = ax² + bx + c |
|---|
Trong đó:
x là biến số
a, b, c là các hệ số với a ≠ 0
Ví dụ:
y = f(x) = x² – 6x + 9
y = g(x) = –2x² + 8x
y = h(x) = 3x² – 5
Quadratic graphs (đồ thị hàm số bậc hai) là đồ thị có dạng đường cong parabol biểu diễn cho một hàm số bậc hai. Trục đối xứng của đồ thị song song với trục Oy và đỉnh của đồ thị luôn đi qua trục đối xứng này.
Ví dụ:
Những yếu tố quan trọng của đồ thị hàm số bậc hai bao gồm:
Giao điểm với trục Oy (y-intercept): Đồ thị hàm số bậc 2 luôn có 1 giao điểm với trục Oy
Giao điểm với trục Ox (x-intercept/zero/root): Đồ thị hàm số bậc 2 có thể có 0, 1 hoặc 2 giao điểm với trục Ox
Đỉnh (vertex): Toạ độ y của đỉnh đồ thị là giá trị nhỏ nhất (khi đồ thị hướng lên) hoặc giá trị lớn nhất (khi đồ thị hướng xuống) của hàm số mà đồ thị biểu diễn
Trong bài thi Digital SAT Math, thí sinh có thể gặp các dạng bài Quadratic graphs sau:
Xác định các đặc điểm của đồ thị
Xác định hàm số của đồ thị
Xác định sự thay đổi của đồ thị dựa vào hàm số
Chiến lược giải quyết bài toán dạng đồ thị hàm số bậc hai trong SAT Math
Cách xác định hàm số từ đồ thị
Đối với dạng bài này, đề bài đưa ra một đồ thị và 4 hàm số bất kỳ. Thí sinh cần xác định hàm số mà đồ thị đó biểu diễn.
Phương pháp 1: Loại trừ đáp án dựa trên hình dạng của đồ thị
Khi quan sát đồ thị, thí sinh có thể nhanh chóng loại trừ các phương án dựa trên những đặc điểm sau:
Nếu đồ thị có dạng parabol, thí sinh xác định đây là hàm số bậc 2 → Loại các hàm số có bậc cao nhất khác 2.
Nếu đồ thị hướng lên, hàm số bậc hai có hệ số a > 0 → Loại các hàm số có a < 0.
Nếu đồ thị hướng xuống, hàm số bậc hai có hệ số a < 0 → Loại các hàm số có a > 0.
Nếu phương pháp loại trừ chỉ giúp loại bỏ 1-2 phương án, thí sinh cần xác định các hệ số a, b, c của hàm số.
Ví dụ:
Choose a function that represents the graph.
Giải:
The graph is parabolic, so this graph represents a quadratic function. Eliminate options C and D because their highest powers are 3 (x³) and 1 (x), respectively.
The graph opens upwards, so “a” must be positive (a > 0). Eliminate option A because a = —2 < 0
.
The only remaining option is B. This function has the highest power as 2 and a > 0, which correctly represents the quadratic graph.
→ B is the correct answer.
Dịch nghĩa:
Đồ thị có dạng parabol nên là đồ thị hàm số bậc hai. Loại phương án C, D vì các hàm số lần lượt có bậc cao nhất là 3 và 1.
Đồ thị hướng lên nên hệ số a phải dương (a > 0). Loại phương án A vì a = —2 < 0
.
Phương án còn lại là B. Hàm số này có bậc cao nhất là 2 và có hệ số a > 0, thể hiện đúng hình dạng của đồ thị.
→ B là đáp án đúng.
Phương pháp 2: Tìm các hệ số a, b, c trong phương trình hàm số
Bước 1: Xác định hệ số c từ giao điểm với trục tung
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ x = 0 và y = c. Do đó, thí sinh cần tìm tung độ của giao điểm giữa đồ thị với trục tung để xác định hệ số c.
Bước 2: Xác định hệ số a và b dựa trên toạ độ điểm khác
Sau khi đã có giá trị của hệ số c, thí sinh cần tìm và xác định toạ độ của 2 điểm bất kỳ trên đồ thị để thế vào hàm số. Khi đó, thí sinh có hệ phương trình hai ẩn a, b như sau:
a(x1)2+bx1+c=y1
a(x2)2+bx2+c=y2
Thí sinh sử dụng máy tính để giải hệ phương trình này và xác định hệ số a, b.
Ví dụ:
What is the quadratic function that represents this quadratic graph?
Giải:
From the quadratic graph, observe that the y-intercept occurs at (0;−4). Therefore, c = −4. The function is
y = f(x) = ax² + bx — 4.
Choose two points on the graph: (1; 0) and (2; 2).
Substituting into the function y = f(x) = ax² + bx — 4
For the point (1; 0): 0 = a(1)² + b(1) — 4 ⇔ a + b = 4
For the point (2; 2): 2 = a(2)² + b(2) — 4 ⇔ 4a + 2b = 6 ⇔ 2a + b = 3
Solve the system a + b = 4 and 2a + b = 3 → a = -1, b = 5.
Therefore, the function is y = —x² + 5x — 4
→ A is the correct answer.
Dịch nghĩa:
Quan sát đồ thị, có thể thấy đồ thị cắt trục tung tại (0; 4). Suy ra, c = -4. Khi đó, hàm số là y = f(x) = ax² + bx — 4.
Chọn 2 điểm trên đồ thị: (1; 0) và (2; 2).
Thế toạ độ mỗi điểm vào hàm số hiện có:
Điểm (1; 0): 0 = a(1)² + b(1) — 4 ⇔ a + b = 4
Điểm (2; 2): 2 = a(2)² + b(2) — 4 ⇔ 4a + 2b = 6 ⇔ 2a + b = 3
Giải hệ phương trình a + b = 4 và 2a + b = 3 → a = -1, b = 5.
Vì vậy, hàm số là y = —x² + 5x — 4
→ A là đáp án đúng.
Xác định các đặc điểm đặc trưng của đồ thị
Dạng 1: Xác định tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung và trục hoành
Nếu đề bài cung cấp đồ thị hàm số bậc hai, thí sinh quan sát đồ thị để xác định những điểm này. Thí sinh lưu ý rằng toạ độ của một điểm luôn được biểu diễn dưới dạng (x; y) với hoành độ trước và tung độ sau.
Nếu đề bài chỉ cung cấp hàm số bậc hai mà không có đồ thị, thí sinh xác định các điểm theo những bước sau:
Toạ độ đỉnh
Bước 1: Xác định hoành độ đỉnh x = —b/2a
Bước 2: Thế giá trị x vào hàm số để xác định tung độ đỉnh
→ Toạ độ đỉnh: (—b/2a; f(—b/2a))
Toạ độ giao điểm với trục tung
Bước 1: Đồ thị giao với trục tung tại x = 0
Bước 2: Thế giá trị x vào hàm số để xác định hoành độ giao điểm, khi đó y = c
→ Toạ độ giao điểm với trục tung: (0; c)
Toạ độ giao điểm với trục hoành
Bước 1: Đồ thị giao với trục hoành tại y = 0
Bước 2: Thế giá trị y vào hàm số để xác định tung độ giao điểm, khi đó 0 = f(x) = ax² + bx + c
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0
Có 3 trường hợp sau:
Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 và x2: đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (x1; 0) và (x2; 0).
Nếu phương trình có 1 nghiệm x1: đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại một điểm có toạ độ (x1; 0).
Nếu phương trình không có nghiệm: đồ thị hàm số không có giao điểm với trục hoành.
Ngoài ra, đề bài có thể yêu cầu thí sinh xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của đồ thị. Câu hỏi này đồng nghĩa với xác định toạ độ đỉnh của đồ thị.
Ví dụ:
Identify the y-intercept of the quadratic graph that represents this function: y = g(x) = —3x² — 5x/2 + 4.
A. (0; 0)B. (4; 0)C. (0; 4)D. (0; -4)
Giải:
y-intercept is located at x=0 → y = g(0) = —3(0)² —5(0)/2 + 4 = 4
Therefore, the y-intercept is located at (0; 4).
→ C is the correct answer.
Dịch nghĩa:
Giao điểm của đồ thị với trục Oy có hoành độ x=0 → y = g(0) = —3(0)² —5(0)/2 + 4 = 4
Vì vậy, giao điểm của đồ thị với trục Oy có toạ độ (0; 4).
→ C là đáp án đúng.
Dạng 2: Tìm số giao điểm của đồ thị với trục hoành
Thí sinh có thể tìm nghiệm của ax² + bx + c = 0 như trên hoặc tính giá trị b² — 4ac.
Nếu b² — 4ac
> 0, đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm.
Nếu b² — 4ac
< 0, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại 1 điểm.
Nếu b² — 4ac
= 0, đồ thị không có giao điểm với trục hoành.
Ví dụ:
Given the quadratic function y = h(x) = —x² — 3x/2. How many x-intercepts does its quadratic graph have?
A. 0B. 1C. 2D. 3
Giải:
b² — 4ac = (—3/2)² — 4(—1)(0) = 9/4 > 0.
Therefore, the quadratic graph has two x-intercepts.
→ C is the correct answer.
Dịch nghĩa:
b² — 4ac = (—3/2)² — 4(—1)(0) = 9/4 > 0.
Vì vậy, đồ thị hàm số bậc hai của hàm số đã cho có 2 giao điểm với trục Ox.
→ C là đáp án đúng.
Xác định sự biến đổi của đồ thị dựa vào hàm số
Đề bài cung cấp 1 hàm số gốc và 1 hàm số biến đổi dựa trên hàm số gốc. Thí sinh cần xác định đồ thị của hàm số biến đổi thay đổi như thế nào so với hàm số ban đầu.
Đối với dạng bài này, thí sinh không cần vẽ cả 2 đồ thị. Thay vào đó, thí sinh có thể áp dụng các quy tắc sau để xác định sự thay đổi của một đồ thị hàm số bậc 2.
Đồ thị của y = f(x - c) di chuyển sang phải c đơn vị so với đồ thị y = f(x).
Đồ thị của y = f(x + c) di chuyển sang trái c đơn vị so với đồ thị y = f(x).
Đồ thị của y = f(x) + c di chuyển lên trên c đơn vị so với đồ thị y = f(x).
Đồ thị của y = f(x) - c di chuyển xuống dưới c đơn vị so với đồ thị y = f(x).
Đồ thị của y = -f(x) đối xứng với đồ thị y = f(x) qua trục hoành.
Đồ thị của y = f(-x) đối xứng với đồ thị y = f(x) qua trục tung.
Đồ thị của y = c.f(x) kéo giãn theo chiều dọc gấp c lần đồ thị y = f(x).
Ví dụ:
Compared to the graph of y = f(x) = x² — x + 1, the graph of y = g(x) = (x — 2)² — (x — 2) + 4 is shifted _________. Complete the sentence.
A. 2 units to the right and 3 units upwardsB. 2 units to the left and 3 units upwardsC. 2 units to the right and 3 units downwardsD. 2 units to the left and 3 units downwards
Giải:
Compare f(x) and g(x): g(x) = f(x — 2) + 3
Therefore, the graph of g(x) is shifted 2 units to the right and 3 units upwards compared to that of f(x).
→ A is the correct answer.
Dịch nghĩa:
So sánh f(x) và g(x): g(x) = f(x — 2) + 3
Vì vậy, đồ thị g(x) dịch chuyển sang phải 2 đơn vị và lên trên 3 đơn vị so với đồ thị f(x).
→ A là đáp án đúng.
Một số điểm cần lưu ý
Ngoài ra, nếu đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại hai điểm hàm số của nó có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) = a(x — m)(x — n). Khi đó, (m; 0) và (n; 0) lần lượt là toạ độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Trong quá trình làm bài, nếu nhận thấy hàm số bậc hai được thể hiện dưới những dạng đặc biệt này, thí sinh có thể dễ dàng xác định một số yếu tố của đồ thị mà không cần các bước tính toán khác.
Ví dụ:
Choose a quadratic function that represents the quadratic graph.
Giải:
The graph has two x-intercepts at (0; 2) and (0; 3). Therefore, its quadratic function can be written as y = f(x) = a(x-2)(x-3).
→ B is the correct answer.
Dịch nghĩa:
Đồ thị có hai giao điểm với trục Ox là (0; 2) và (0; 3). Vì vậy, hàm số bậc hai biểu diễn đồ thị có thể được viết dưới dạng y = f(x) = a(x-2)(x-3).
→ B là đáp án đúng.
Bài tập thực hành
Bài 2: Identify the following features of the quadratic graphs.
(1) Vertex of y = f(x) = x² — 3x/2 + 5/16
A. (3/2; 5/16)B. (—3/4; 1/4)C. (3/4; —1/4)D. (0; 5/16)
(2) Y-intercepts of y = g(x) = (x — 3)² + 5
A. (0; 14)B. (14; 0)C. (0; 5)D. (5; 0)
(3) Zero(s) of y = h(x) = (x — 2)(x + 5)
A. (2; 0)B. (-5; 0)C. (3; 0)D. A and B are correct
Bài 3: How does the graph of y = f(x) = x² + 3x — 7 change compared to the graph of y = g(x) = x² + 5x — 3?
A. Shifted 2 units upwardsB. Shifted 4 units to the leftC. Shifted 4 units downwardsD. Shifted 1 unit to the right
Đáp án:
Bài 1: (1) A; (2) A; (3) C; (4) D.
Bài 2: (1) C; (2) C; (3) D.
Bài 3: D.
Gợi ý giải:
y = f(x) = x² + 3x — 7
⇔ y = x² + 5x — 2x — 3 — 4
⇔ y = f(x) = (x² — 2x + 1) + (5x — 5) + 3
⇔ y = f(x) = (x — 1)² + 5(x — 1) + 3
⇔ y = f(x) = g(x - 1)
Do đó, đồ thị của f(x) được dịch chuyển 1 đơn vị sang bên phải đồ thị của g(x).
Đọc tiếp: Bài toán từ thực tế về hàm số bậc hai và hàm mũ - Hướng dẫn giải và bài tập
