Trigonometry for right triangles in SAT Math - The ratios of trigonometric functions in right-angled triangles

SAT (Scholastic Assessment Test) là bài thi chuẩn hoá nhằm đánh giá năng lực của học sinh được phát triển và sở hữu bởi College Board - tổ chức giáo dục phi lợi nhuận tại Mỹ. Phần thi Toán kéo dài 70 phút với tổng cộng 44 câu hỏi, trong đó dạng bài right triangle trigonometry (tỉ số lượng giác tam giác vuông) nằm trong phần “Geometry and Trigonometry”, chiếm khoảng 16% toàn bài thi. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho người học lý thuyết và bài tập của dạng bài này.

Overview of the Right triangle trigonometry section

Mục tiêu của các bài toán này là xác định độ dài cạnh hoặc số đo góc của tam giác vuông dựa trên dữ kiện là các cạnh và các góc cho trước.

Các kiến thức về tam giác vuông và các tỉ số lượng giác được ứng dụng đa dạng trong thực tế từ đo chiều cao tòa nhà, cây cối bằng góc nâng, đến tính toán khoảng cách trong các tình huống địa lý, xây dựng, và kỹ thuật.

Strategies for tackling the Right triangle trigonometry questions in SAT Math

The Pythagorean Theorem

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông (In a right triangle, the square of the hypotenuse length is equal to the sum of the squares of the leg lengths.)

Ví dụ 1: In a right triangle, the two legs measure 5 cm and 12 cm. What is the length of the hypotenuse? (Trong một tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 5 cm và 12 cm. Độ dài của cạnh huyền là?)

Let x be the length of the hypotenuse.

Using Pythagoras theorem, we have:

x2=52+122

x2=169

x=169

x = 13

So, the length of the hypotenuse is 13 cm.

(Dịch:

Gọi độ dài của cạnh huyền là x.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

x2=52+122

x2=169

x=169

x = 13

Vậy độ dài của cạnh huyền là 13 cm.)

Ví dụ 2: The hypotenuse of a right triangle is 17 units, and one leg is 15 units. Determine the length of the other leg. (Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 17 đơn vị, một cạnh góc vuông dài 15 đơn vị. Xác định độ dài của cạnh góc vuông còn lại)

Let y be the length of the unknown leg.

Using Pythagoras theorem, we have:

172 = x2 + 152

289 = x2 + 225

x2 = 289 - 225

x2 = 64

x = 8

So the length of the other leg is 8 units.

(dịch:

Gọi y là độ dài của cạnh góc vuông chưa biết

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

172 = x2 + 152

289 = x2 + 225

x2 = 289 - 225

x2 = 64

x = 8

Vậy độ dài của cạnh góc vuông còn lại là 8 đơn vị.)

Trigonometric Ratios

Cho tam giác ABC vuông tại C với AB = c, BC = a, AC = b, ∠A = α, ∠B = β (ảnh minh hoạ bên dưới).

Với ∠A, AC được gọi là cạnh kề của góc A (adjacent leg), BC là cạnh đối của góc A (opposite leg).

• Tỉ số giữa cạnh đối BC và cạnh huyền AB được gọi là sin A hay sin α

• Tỉ số giữa cạnh kề AC và cạnh huyền AB được gọi là cos A hay cos α

• Tỉ số giữa cạnh đối BC và cạnh kề AC được gọi là tan A hay tan α.

• Tỉ số giữa cạnh kề AC và cạnh đối BC được gọi là cot A hay cot α.

Tương tự, với ∠B, BC được gọi là cạnh kề của góc B, AC là cạnh đối của góc B.

• Tỉ số giữa AC và AB là sin B hay sin β.

• Tỉ số giữa BC và BC là cos B hay cos β.

• Tỉ số giữa AC và BC là tan B hay tan β.

• Tỉ số giữa BC và AC là cot B hay cot β.

sin C = ABBC = 0.8

→ BC = AB ÷ 0.8 = AB × 10 ÷ 8 = 10

Ví dụ 2: In the figure given, BC = 5 and tan A = 13. Calculate the length of AB. (Trong hình dưới đây, BC = 5 và tan A = 13. Tính độ dài AB.)

tan A = BCAB = 13

→ AB = 3 × BC ÷ 1 = 3 × 5 ÷ 1 = 15

Steps to solve the Right triangle trigonometry problem in SAT Math

• Bước 1: Xác định độ dài các cạnh, số đo các góc và tỉ số lượng giác đã được đề bài cho sẵn.

• Bước 2: Chọn một góc cố định, xác định cạnh kề và cạnh đối tương ứng của góc đã cho. Sau đó xác định cạnh huyền của tam giác.

• Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác đã học để tính các độ dài các cạnh, số đo các góc hoặc tỉ số lượng giác cần tìm.

• Bước 4: Kết luận.

Bài toán thực tế:

• Bước 1: Vẽ hình minh hoạ miểu thị sự tương quan giữa các yếu tố cho sẵn.

• Bước 2: Đặt tên các cạnh, các góc để dễ tính toán.

• Bước 3: Xác định độ dài các cạnh, số đo các góc và tỉ số lượng giác đã được đề bài cho sẵn.

• Bước 4: Chọn một góc cố định, xác định cạnh kề và cạnh đối tương ứng của góc đã cho. Sau đó xác định cạnh huyền của tam giác.

• Bước 5: Áp dụng định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác đã học để tính các độ dài các cạnh, số đo các góc hoặc tỉ số lượng giác cần tìm.

• Bước 6: Kết luận đáp án

Some important tips when solving Right triangle trigonometry problems

• Bài thi SAT sử dụng đơn vị đo góc là độ (degree), thay vì rad (radian) nên người học cần chuyển đơn vị đo trong máy tính cầm tay là Độ để tránh sai sót về kết quả khi tính toán.

• Một số bộ ba số là bộ ba độ dài của một tam giác vuông (còn được gọi là bộ ba số Pythagoras) mà người học cần ghi nhớ để làm bài nhanh hơn: 3 - 4 - 5, 5 - 12 - 13, 7 - 24 - 25, 8 - 15 - 17,…

• Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠B + ∠C = 90°, ta có: sin B = cos C, cos B = sin C, tan B = cot C, cot B = tan C.

• Với 0° < α < 90°, 0 < sin α, cos α < 1.

• Cho α là một góc tạo bởi một cạnh góc vuông và cạnh huyền, ta luôn có:

tan⁡α=sin⁡(α)cos(α)cot⁡α=cos(α)sin⁡(α)sin2⁡(α)+cos2(α)=1tan⁡(α)×cot(α)=11+tan2⁡α=1cos2α1+cot2⁡α=1sin2⁡α

• Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:

Practical exercises

Bài 2: In a right triangle, sin⁡(B) = 0.6​, and the hypotenuse is 10 meters. Find the lengths of the two legs. (Trong một tam giác vuông, cho sin B + 0.6, và độ dài cạnh huyền là 10m. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.)

Bài 3: A flagpole casts a shadow on the ground that is 9 meters long. The sunlight forms an angle of approximately 37° with the ground. Calculate the height of the flagpole. (Một cây cột cờ có bóng trên mặt đất dài 9 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 37°. Tính chiều cao của cột cờ.)

Bài 4: A person stands 30 meters away from the base of a water tower and looks up at the top of the tower with an angle of elevation of 25°. The height from the ground to the person's eyes is 1.8 meters. Calculate the height of the water tower. (Một người đứng cách chân tháp nước 30m, nhìn lên đỉnh tháp với góc nâng 25°. Chiều cao từ mặt đất đến mắt người là 1,8m. Hãy tính chiều cao của tháp nước.)

(Đáp án)

Bài 1: 13 cm

Problem 2: 6 meters and 8 meters

Problem 3: 6.8 meters

Problem 4: 15.8 meters

Summary