Buzz
Growth (n): sự tăng trưởng
Khái niệm
Trong toán học, growth (sự tăng trưởng) là sự gia tăng về số lượng, giá trị, mức độ, cường độ,… của một đại lượng theo thời gian.
Ví dụ:
Dân số Ấn Độ tăng từ khoảng 1,2 tỷ năm 2010 lên hơn 1,4 tỷ vào năm 2025.
Lượng tiền gửi ngân hàng tăng theo lãi suất kép.
Số lượng vi khuẩn nhân đôi sau mỗi chu kỳ tăng trưởng.
Phương trình tính toán
Có hai dạng tăng trưởng chính: tăng trưởng tuyến tính (linear growth), tăng trưởng theo cấp số nhân (exponential growth).
Tăng trưởng tuyến tính:
Trong đó:
y: giá trị tại thời điểm t
y0: giá trị ban đầu
k: hệ số thay đổi
t: thời gian
Ví dụ:
Vào thời điểm bắt đầu khảo sát, cây A cao 10 cm, sau mỗi tuần cây tăng thêm 2 cm.
Sự tăng trưởng chiều cao của cây được biểu diễn bằng hàm số sau: h(t) = 50 + 2t.
Tăng trưởng theo cấp số nhân:
Trong đó:
y: giá trị tại thời điểm t
y0: giá trị ban đầu
k: hệ số thay đổi
t: thời gian
Ví dụ: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 20, sau mỗi giờ, lượng vi khuẩn tăng gấp đôi.
Sự tăng trưởng của vi khuẩn được biểu diễn bằng hàm số sau: n(t)=5⋅2t .
Bài kiểm tra từ vựng
Fill in the blank with one of these words: increases, exponential, positive
The formula for __________ growth is y=a⋅b^t, where b > 1.
A linear growth occurs when a value __________ by the same amount per unit time.
Linear growth has a __________ slope, meaning the value rises with time.
Vấn đề ứng dụng thực tiễn
Exercise 1:
A software engineer starts her job with a monthly salary of $2,500. Her company offers her a fixed raise of $150 every 6 months.How much will she earn per month after 4 years?
Exercise 2:
A certain type of bacteria reproduces through exponential growth.The initial population is 2,000 cells, and it doubles every 3 hours.
a) How many bacteria will there be after 15 hours?b) After how many hours will the population exceed 128,000?
Decay (n): sự suy giảm
Khái niệm cơ bản
Trong toán học, decay (sự suy giảm) là sự giảm về số lượng, giá trị, mức độ, cường độ,… của một đại lượng theo thời gian.
Ví dụ:
Chất phóng xạ như phân rã khiến lượng chất giảm dần theo thời gian.
Giá trị cổ phiếu công ty A giảm dần sau mỗi quý.
Một số hormone trong cơ thể giảm dần khi con người trưởng thành.
Công thức toán học
Có hai dạng suy giảm chính: suy giảm tuyến tính (linear decay) và suy giảm theo cấp số nhân (exponential decay). Các công thức thể hiện sự suy giảm tương tự với tăng trưởng nhưng có giá trị hệ số khác.
Suy giảm tuyến tính: y=y0+kt (k < 0)
Ví dụ: Pin điện thoại mất đều 5% mỗi giờ. Hàm số thể hiện mức pin là: P(t)=100−5t.
Suy giảm theo cấp số nhân: y=y0⋅kt (k < 1)
Ví dụ: Một khối chất phóng xạ có khối lượng 2 gram, khối lượng giảm 10% sau mỗi ngày. Công thức thể hiện sự suy giảm khối lượng của chất này là: m(t)=2⋅0.9t.
Bài tập kiểm tra vốn từ vựng
Fill in the blank with one of these words: downward, decay, exponential
Radioactive substances typically follow a pattern of __________ decay over time.
The graph of exponential decay forms a __________-sloping curve.
In a linear __________ model, the slope of the function is less than zero.
Tình huống ứng dụng thực tế
Exercise 1:
A flashlight uses a battery that drains at a constant rate. Initially, the battery holds 1800 mAh of charge, and it loses 75 mAh per hour when in use.
How many hours will it take for the battery to be completely drained?
Exercise 2:
A radioactive substance weighing 100 grams undergoes exponential decay. Its half-life is 5 years (Radioactive half-life is the time it takes for half of the unstable nuclei in a sample of a radioactive substance to decay.)
a) Write a function M(t) to model the remaining mass after t years.b) After how many years will only 12.5 grams remain?
Lời giải chi tiết
The formula for exponential growth is y=a⋅b^t where b>1.
(Công thức cho sự tăng trưởng theo cấp số nhân là y=a⋅b^t với b>1.)A linear growth occurs when a value increases by the same amount per unit time.
(Tăng trưởng tuyến tính xảy ra khi một giá trị tăng lên cùng một lượng cố định theo mỗi đơn vị thời gian.)Linear growth has a positive slope, meaning the value rises with time.
(Tăng trưởng tuyến tính có hệ số góc dương, nghĩa là giá trị tăng theo thời gian.)
Exercise 1:
Starting salary S0 = 2500 USD/month
Raise every 6 months = 150 USD
Duration = 4 years = 8 periods of 6 months
The salary increases linearly by $150 every 6 months.After n = 8, the salary is: S = S0 + 150n = 2500 + 150.8 = 3700 USD/month.
Exercise 2:
Initial population P0 = 2000 cells
The population doubles every 3 hours.
Time in hours
The population doubles every 3 hours means: P(t)=P0⋅2t3
a) Number of bacteria after 15 hours: P(15) = 64000 (cells)b) The population exceed 128,000 after: P(t) > 128000 → t > 18 hours.
Decay
Radioactive substances typically follow a pattern of exponential decay over time.
(Các chất phóng xạ thường tuân theo mô hình suy giảm theo cấp số nhân theo thời gian.)The graph of exponential decay forms a downward-sloping curve.
(Đồ thị của sự suy giảm theo cấp số nhân tạo thành một đường cong đi xuống.)In a linear decay model, the slope of the function is less than zero.
(Trong mô hình suy giảm tuyến tính, hệ số góc của hàm số nhỏ hơn không.)
Exercise 1:
Initial battery charge: 1800 mAh
Constant loss: 75 mAh/hour
Loss of battery is presented by a linear decay function: B(t) = 1800 — 75t.
The battery is completely drained after: B(t) = 1800 — 75t = 0 → t = 24 hours.
Exercise 2:
Initial mass: 100 g
Half-life: 5 years
a) Hàm số này tuân theo mô hình suy giảm theo cấp số nhân:
b) Khối lượng chất còn lại là 12.5 g sau khi: M(t) = 12.5 → t =15 năm.
Bài viết đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về các thuật ngệ then chốt trong SAT Math - Toán Nâng Cao - Bài 6: tăng trưởng và suy giảm. “Growth” biểu thị cho quá trình phát triển, trong khi “decay” mô tả sự giảm sút của các đại lượng trong toán học. Việc nắm vững cả hai khái niệm này và cách áp dụng chúng vào các tình huống toán học là rất quan trọng để giải quyết chính xác các bài tập trong SAT Math. Để xây dựng một nền tảng kiến thức vững chắc cho kỳ thi SAT, học viên có thể đăng ký tham gia khóa học SAT Foundation được cung cấp bởi Mytour Academy.
