Buzz
Kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ax+By<,≤,>,≥ C
Trong đó:
A/B là hệ số góc của bất phương trình (với B ≠ 0)
A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0.
Khi biểu diễn dưới dạng slope-intercept, bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng:
y<,≤,>,≥ mx + b
Trong đó:
m là hệ số góc của bất phương trình.
Ngoài ra, b là hệ số tự do của bất phương trình.
Kết nối giữa nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hình ảnh đồ thị
Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn (VD: Ax + By + C > 0), nghiệm (miền nghiệm) của nó không phải là một khoảng trên trục số mà là một miền mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng Ax + By + C = 0 đóng vai trò là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa riêng biệt. Một nửa mặt phẳng sẽ chứa các điểm (x, y) thỏa mãn dấu của bất phương trình, nửa còn lại chứa các điểm (x,y) khiến bất phương trình bị sai. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì miền nghiệm sẽ bao gồm điểm đường thẳng Ax + By + C = 0, được biểu diễn trên đồ thị dưới dạng đường gạch liền. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, miền nghiệm không bao gồm đường thẳng này và nó được biểu diễn bằng đường gạch đứt.
Ví dụ: Xét bất phương trình y ≥ 3x - 5.
Fig. 1. Inequality y ≥ 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])
Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (5/3, 0). Như vậy, bất phương trình y 3x - 5 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x và y sao cho y ≥ 3x - 5. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x,y) để thử nghiệm miền nghiệm này.
Điểm (0, 2): 2 > 3 x 0 - 5 -> Đúng -> (0, 2) thuộc miền nghiệm bất phương trình.
Điểm (3, 0): 0 > 3 x 3 - 5 -> Sai -> (3, 0) không thuộc miền nghiệm bất phương trình.
Cách nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn qua đồ thị trong các câu hỏi Digital SAT
Ví dụ minh họa
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 2. Inequality y > x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])
A. y > x - 5B. y < x - 5C. y ≥ x - 5D. y ≤ x - 5
Tổng quan về máy tính khoa học DESMOS
Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])
Những tính năng cơ bản của DESMOS
Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản
Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao
Sử dụng bảng biểu
Tính năng thanh trượt
Các phép tính thống kê cơ bản
Các phép tính lượng giác cơ bản
…
Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)
Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])
Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.
Hướng dẫn áp dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn qua đồ thị
Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.
Người học đọc kỹ bất đề bài để xác định đồ thị được cho cũng như các lựa chọn được cho. Người học có thể loại bỏ trước một vài đáp án dựa vào việc xét đồ thị có đường gạch đứt hay gạch liền và đối chiếu với các bất phương trình được ghi trong đáp án.
Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, ta sẽ lần lượt nhập những bất phương trình được cho vào Desmos. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.
DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các bất phương trình tương ứng.
Lưu ý: Người học có thể bấm vào những hình tròn ở cạnh các bất phương trình để đồ thị của chúng không hiện lên giao diện, tránh bị rối khi xét đồ thị.
Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được một khoảng được tô màu bên trái/phải của đường thẳng. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.
Bước 4: Người học cần đối chiếu hình ảnh được vẽ trên Desmos của những bất phương trình được cho với đề bài. Nếu bất phương trình trên giao diện Desmos khớp với đồ thị được cho ở đề bài, thì bất phương trình đấy là đáp án.
Ví dụ minh hoạ:
Câu hỏi:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 5. Inequality y > x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])
A. y > x - 5B. y < x - 5C. y ≥ x - 5D. y ≤ x - 5
Hướng dẫn giải bằng DESMOS
Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp
Đồ thị được cho có gạch đứt
Các bất phương trình được cho
y > x - 5
y < x - 5
y ≥ x - 5
y ≤ x - 5
Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:
Lần lượt nhập các bất phương trình vào bốn dòng trên giao diện.
Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu “≥”, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.
Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])
Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng và khoảng có nghiệm của các bất phương trình. Bây giờ người học chỉ cần lần lượt xét từng bất phương trình một để xét bất phương trình hợp lý nhất bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện.
Bước 4: Xét từng bất phương trình một
y > x - 5 khớp -> thỏa mãn
y ≥ x - 5 không khớp -> không thỏa mãn
y ≤ x - 5 không khớp -> không thỏa mãn
y > x - 5 không khớp -> không thỏa mãn
⇒ Chọn đáp án A.
Fig. 7. Inequalities y > x - 5, y < x - 5, y ≥ x - 5, y ≤ x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])
Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.
Bài tập thực hành
Question 1:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 9. Inequality y > 2x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])
A. y < 2x + 5B. y ≤ 2x + 5C. y ≥ 2x + 5D. y > 2x + 5
Answer: D
Question 2:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 10. Inequality x + 2y - 5 ≤ 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])
A. x + 2y - 5 > 0B. x + 2y - 5 ≤ 0C. x + 2y - 5 < 0D. x + 2y - 5 ≥ 0
Answer: B
Question 3:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 11. Inequality x + y - 3 > 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])
A. x + y - 3 > 0B. x + y + 3 > 0C. x - y + 3 > 0D. x - y - 3 > 0
Answer: A
Question 4:
A graph shows a dashed diagonal line that goes through the points (0, 2) and (2, 0). The region below the line is shaded.
Which inequality best represents this graph?
A. x + y > 2B. x + y ≤ 2C. x + y < 2D. x + y ≥ 2
Answer: C
Question 5:
A graph shows a dashed line with the equation y = 3x −1. The shaded region is above the line.
Which inequality matches the graph?
A. y > 3x − 1B. y ≥ 3x − 1C. y < 3x − 1D. y ≤ 3x − 1
Answer: A
Question 6:
The graph of an inequality has a solid boundary line with equation y = −x + 4
The shaded region includes the origin.
Which inequality matches the graph?
A. y > − x + 4B. y < − x + 4C. y ≤ − x + 4 D. y ≥ − x + 4
Answer: C
Question 7:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 12. Inequality 2x + y > 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [12])
A. 2x + y > 6B. y > 6 + 2xC. - y < 2x + 6D. 2y + 6x > 6 + 2x
Answer: A
Question 8:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 13. Inequality y < x + 62 - x - 410 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [13])
A. y > (x + 6)/2 - (x - 4)/10B. y < (x + 6)/2 - (x - 4)/10C. y ≥ (x + 6)/2 - (x - 4)/10D. y ≤ (x + 6)/2 - (x - 4)/10
Answer: B
Question 9:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 14. Inequality x - 2y + 5 ≤ 2x + 4y - 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [14])
A. x - 2y + 5 ≤ 2x + 4y - 8B. -x + 5 ≤ 2y - 8C. 6y ≤ -x + 13D. x - 6y ≤ -13
Answer: A
Question 10:
The shaded region shown represents the solution to which inequality?
Fig. 15. Inequality 2(x + 1) ≥ 3(y + 2x - 1) trên Desmos Graphing Calculator. (Nguồn: [15])
A. 8x + 5 ≥ 3y
B. y ≥ (- 4x + 5)/3
C. 2x + 2 ≥ 3y + 2x − 3
D. 2(x + 1) ≥ 3(y + 2x - 1)
Đáp án: D
