Ứng dụng DESMOS để xác định đồ thị của hàm số tuyến tính trước và sau khi thực hiện phép biến đổi

Cơ sở lý thuyết về hàm số tuyến tính cùng đồ thị của hàm số tuyến tính

Ax+By+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y=f(x)=mx+b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Quan hệ giữa hàm số tuyến tính và đồ thị của nó

Ví dụ: Xét hàm số y = 3x + 5

Ta có thể xét hai trường hợp giá trị xy để thử nghiệm.

• Xét điểm (-1, 2): 2 = 3 x (-1) + 5 -> Đúng -> (x, y) = (-1, 2) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Xét điểm (3, 0): 0 = 3 x 3 - 5 -> Sai -> (x, y) = (3, 0) không phải là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Fig. 1. Line y = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Biến đổi của hàm số tuyến tính

Từ vựng thường gặp trong đề SAT về biến đổi đồ thị hàm số:

Xét hàm số f(x) và g(x):

Dịch chuyển đồ thị:

• Dịch chuyển dọc (Vertical shift): g(x) = f(x) + k -> khi k < 0 thì hàm số sẽ di chuyển xuống dưới, khi k > 0 thì hàm số di chuyển lên trên.

• Dịch chuyển ngang (Horizontal shift): g(x) = f(x - h) -> khi h > 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang phải, khi h < 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang trái.

Biến đổi đồ thị:

• Giãn/Nén theo chiều dọc (Vertical stretch/compression): g(x) = af(x) -> “stretch” là khi ∣a∣ > 1 và “compress” là khi 0 < ∣a∣ < 1.

• Giãn/Nén theo chiều ngang (Horizontal stretch/compression): g(x) = f(ax) -> “compress” là khi ∣a∣ > 1 và “stretch” là khi 0 < ∣a∣ < 1.

• Phản chiếu ngang (Reflecting across the x-axis): g(x) = -f(x).

• Phản chiếu dọc (Reflecting across the y-axis): g(x) = f(-x).

Ví dụ: Xét hàm số sau.

f(x) = 2x + 1

Nếu đề bài yêu cầu tìm một hàm số g(x), mà g(x) là f(x) được “shift to the right 3 units” và “shift down 4 units”, ta có thể hiểu là đề bài muốn tìm hàm số f(x - 3) - 4.-> g(x) = f(x - 3) - 4 = 2(x − 3) + 1 - 4 = 2x − 9.

Fig. 2. Functions f(x) = 2x + 1 and f(x - 3) - 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Kết luận: Hàm số g(x) = 2x - 9 là hàm số f(x) = 2x + 1 sau khi dịch chuyển sang phải 3 đơn vị và dịch chuyển dọc xuống 4 đơn vị.

Mặt khác, nếu đề bài cho trước hàm số đã biến đổi và người học cần tìm hàm số trước khi biến đổi, thì người học cũng có thể tìm hàm số theo cách này.

Ví dụ: A line has the equation y = 2x + 6. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) down 2 units and to the left 2 units.

Which equation represents f(x)?

Giả sử ta có hàm sau biến đổi: y = 2x + 6

Đề bài cho biết đường thẳng này được tạo bằng cách:

• shift down 2 units

• shift left 2 units

từ đồ thị f(x). Nếu: g(x) tương đương f(x) sau khi biến đổi thì để tìm f(x), ta làm ngược dấu biến đổi:

Ta có:

• down 2 -> khi tìm lại: up 2

• left 2 -> khi tìm lại: right 2

-> f(x) = g(x - 2) + 2 = 2(x - 2) + 6 + 2 = 2x + 4

Fig. 3. Functions g(x) = 2x + 6 and g(x - 2) + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Kết luận: Hàm số f(x) = 2x + 4 là hàm số g(x) = 2x + 6 sau khi dịch chuyển sang phải 2 đơn vị và dịch chuyển dọc lên 2 đơn vị. Hay phát biểu ngược lại: g(x) là hàm số f(x) sau khi dịch chuyển sang trái 2 đơn vị và dịch chuyển dọc xuống 2 đơn vị.

Xác định đồ thị hàm số tuyến tính trước và sau khi biến đổi trong câu hỏi Digital SAT

Tổng quan về máy tính khoa học DESMOS

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Những tính năng cơ bản của DESMOS

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn khai thác DESMOS để xác định đồ thị hàm số tuyến tính trước và sau khi biến đổi

Phương pháp 1

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu và hàm số cần tìm (đề bài muốn dịch chuyển hay kéo dãn hàm số,…).

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài.

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Sau khi người học thấy được hàm số được cho trên mặt phẳng tọa độ, người học xuống dòng tiếp theo và nhập hàm số được biến đổi. Người học sẽ phải tự biến đổi hàm số dựa trên lý thuyết đã cho ở phần trên.

DESMOS sẽ tự động cho các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: (tùy chọn) Nếu cần, người học có thể bấm thử đáp án bằng cách bấm các lựa chọn vào trong Desmos, nếu lựa chọn khớp với hàm số đã biến đổi đã tìm được, thì người học có thể chọn đáp án đó.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

The function f(x) = −3x + 4 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of f(x) shifted right 1 unit and up 5 units?

A. f(x) = -3x + 12B. f(x) = -3x + 6C. f(x) = -3x + 2D. f(x) = -3x + 10

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = -3x + 4

• Hàm số được dịch chuyển sang phải và lên trên.

• Người học cần tìm phương trình của hàm số mới

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 6. Function f(x) = -3x + 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 7. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học tìm hàm số được biến đổi và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, ta phải tìm hàm “f(x) shifted right 1 unit and up 5 units”, có thể hiểu là tìm hàm f(x - 1) + 5. Như vậy, ta viết f(x - 1) + 5 vào một dòng mới của DESMOS.

Fig. 8. Function f(x) = -3x + 4 and f(x - 1) + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: Người học thay những lựa chọn được cho trong đề bài vào để thử. Lựa chọn khớp với hàm số đã được vẽ sẵn là lựa chọn đúng. Người học có thể cần lần lượt xét từng hàm số một cách đơn giản và tránh bị vướng bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện.

• f(x) = -3x + 12 khớp -> thỏa mãn

• f(x) = -3x + 6 không khớp -> không thỏa mãn

• f(x) = -3x + 2 không khớp -> không thỏa mãn

• f(x) = -3x + 10 không khớp -> không thỏa mãn

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 9. Function f(x) = -3x + 4 with Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Phương pháp 2

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu và hàm số cần tìm (đề bài muốn dịch chuyển hay kéo dãn hàm số, v.v.).

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài.

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học có thể biểu diễn hàm số cần tìm dựa theo hàm số gốc với các ẩn để thử trên slider.

Ví dụ: Hàm g(x) = mx + n sau khi biến đổi sẽ thành hàm f(x) = m(x - a) + b - c.

DESMOS sẽ tự động cho các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Sau đó, người học có thể bấm các giá trị của a, b, c lên Desmos để hiện lên các thanh slider bằng cách bấm vào nút “add slider” cho những ẩn cần tìm.

Bước 4: Người học kéo các thanh slider đến khi các hàm số được viết trùng nhau. Sau đó người học có thể diễn giải hàm số để tìm ra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

A line has the equation g(x) = 3x - 1. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) up 2 units and to the right 3 units.

Which equation represents f(x)?

A. y = 3x + 12B. y = 3x + 6C. y = 3x + 2D. y = 3x + 10

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: g(x) = 3x - 1

• Hàm số được tạo bởi hàm số f(x) được dịch lên trên 2 và sang phải 3.

• Người học cần tìm phương trình của hàm số cũ.

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 10. Function g(x) = 3x - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Bước 3: Người học biểu diễn hàm số g(x) dựa trên hàm số gốc và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, đề bài cho hàm g(x) là hàm “f(x) up 2 units and to the right 3 units”, nên có thể hiểu hàm g(x) = 3x - 1 = 3(x - 3) + b + 2. Như vậy, ta viết g(x) = 3(x - 3) + b + 2 vào một dòng mới của DESMOS.

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, người học bấm “add slider” cho ẩn b để hiện slider trên DESMOS.

Fig. 11. Function g(x) = 3x - 1 and Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Bước 4: Người học kéo thanh slider đến khi hai đường thẳng trùng nhau. Sau đó, người học có thể diễn giải hàm số tìm được và ra đáp án.

Fig. 12. Function g(x) = 3x - 1 and Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Trong trường hợp này, ta tìm được b = 6, nên ta sẽ có phương trình gốc là 3x + 6.

⇒ Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập áp dụng

Question 1:

The function f(x)= 2x - 5 is graphed in the xy-plane. Which equation represents the graph of f(x) shifted left 3 units and down 4 units?

A. y = 2x − 15B. y = 2x − 3 C. y = 2x − 5D. y = 2x − 9

Answer: B

Question 2:

A line has the equation y = 3x + 8. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) down 6 units and to the left 1 unit.

Which equation represents f(x)?

A. y = 3x + 2B. y = 3x + 11C. y = 3x − 5 D. y = 3x + 6

Answer: B

Question 3:

The function h(x) = 2x − 7 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of h(x) reflected across the y-axis and shifted down 3 units?

A. y = −2x − 10B. y = −2x + 10C. y = 2x + 10D. y = 2x − 10

Answer: A

Question 4:

The graph of y = 5x - 2 is transformed to produce the graph of

y = −5x + 13.

Which sequence of transformations could describe this change?

A. Reflect across the x-axis, then shift down 11 unitsB. Reflect across the y-axis, then shift down 11 unitsC. Reflect across the x-axis, then shift up 15 unitsD. Reflect across the y-axis, then shift up 15 units

Answer: D

Question 5:

The function f(x) = 2x + 1 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of f(x) after a horizontal compression by a factor of 2, followed by a reflection across the x-axis?

A. y = −4x - 2B. y = −4x - 1C. y = −2x - 2D. y = −2x - 4

Answer: C

Question 6:

The function h(x) = −x + 3 is graphed in the xy-plane.

A sequence of transformations is applied:

• shift right r units,

• reflect across the x-axis,

• shift up 8 units.

The resulting graph passes through the point (2, 5).

What is the value of r?

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer: B

Question 7:

The function g(x) = −2x + 7 is graphed in the xy-plane.

A sequence of transformations is applied:

1. The graph is reflected across the x-axis.

2. The graph is shifted left 4 units.

3. The graph is vertically stretched by a factor of 3.

The final equation is y = mx + k.

What is the value of 2k + m?

A. 12B. 15C. 10D. 9

Answer: A

Question 8:

The function f(x) = 2x + b, where b is a constant, is graphed in the xy-plane.

The graph of f(x) is transformed as follows:

1. Reflected across the y-axis,

2. Shifted right 4 units,

3. Shifted down 6 units.

The resulting graph passes through the point (1,−10).

What is the value of b?

A. −8B. −4C. −2D. −10

Answer: D

Question 9:

The function g(x) = −3x + 5 is graphed in the xy-plane.

A new function is created by:

• shifting the graph left 2 units,

• reflecting it across the x-axis,

• applying a vertical stretch by a factor of 2,

• and shifting it up 4 units.

What are the x-intercept and y-intercept of the new function?

A. (2, 0), (0, 2)B. (-1, 0), (0, 6)C. (3, 0), (0, 5)D. (-2, 0), (0, -1)

Answer: B

Question 10:

A company tracks net weekly gain (revenue minus expenses) in thousands of dollars:

G(x) = 3x − 8.

Because bulk production now causes steep overtime and maintenance expenses, each additional hundred items reduces the net gain. The company:

• reverses the rate of change,

• doubles its magnitude,

• shifts the model right 2 units,

• adds 10 to all values after receiving a fixed bonus.

Which equation corresponds to the new gain function?

A. y = −6x + 14
B. y = −6x + 22
C. y = 6x + 14
D. y = 6x + 22

Correct answer: A