Unit circle trigonometry - Chiến thuật giải bài và các bài tập thực hành

Tổng quan về dạng bài Unit circle trigonometry trong bài thi SAT Math - Geometry và Trigonometry

Đường tròn đơn vị (Unit circle): Một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O (0, 0) và bán kính bằng 1 đơn vị.

Với dạng Unit circle trigonometry thường xoay quanh một số nội dung dưới đây:

1. Các phần tư của đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị có bán kính = 1, tâm tại gốc tọa độ (0,0). Góc được tính từ trục Ox dương, ngược chiều kim đồng hồ.

Nó chia thành 4 phần tư (quadrants):

Người học có thể ghi nhớ nhanh bằng câu: “All Students Take Calculus”→ I: All (cả 3 hàm dương)→ II: Students (chỉ sin dương)→ III: Take (chỉ tan dương)→ IV: Calculus (chỉ cos dương)

2. Chuyển đổi giữa radian và độ:

Công thức:

• Độ = Radian × (180 / π)

• Radian = Độ × (π / 180)

Ví dụ:

• π = 180°

• π/2 = 90°

• 3π/4 = 135°

• 5π/6 = 150°

3. Dùng tam giác vuông đặc biệt để xác định giá trị lượng giác:

Có 2 tam giác đặc biệt thường gặp trong lượng giác:

• Tam giác 45°–45°–90°

  • Góc: 45° → π/4

  • Cạnh: 1 – 1 – √2

  • sin(45°) = cos(45°) = √2 / 2

• Tam giác 30°–60°–90°

  • Góc:

    • 30° → π/6

    • 60° → π/3

  • Cạnh: 1 – √3 – 2

  • sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2

  • sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2

4. Bảng giá trị sin, cos, tan của các góc đặc biệt:

Lưu ý: Dấu của các giá trị sin, cos, tan phụ thuộc vào phần tư của góc.→ Hãy luôn áp dụng quy tắc “All Students Take Calculus” để xác định dấu đúng.

Chiến lược giải quyết bài tập Unit circle trigonometry trong SAT Math

Các bước giải bài toán chi tiết

• Bước 1: Đọc kỹ yêu cầu của bài toán, xác định những thông tin đã cho và những gì cần tìm như góc và giá trị x và y tương ứng trên hình tròn đơn vị.

• Bước 2: Áp dụng các tam giác vuông đặc biệt hoặc giá trị sin, cos, và tan đã biết để tìm ra kết quả.

• Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng người học đã trả lời đúng yêu cầu của bài toán.

Ví dụ:

In the xy-plane, O is the center of a circle. The measure of ∠MON is kπ radians. What is the value of k?

A) 1/6B) 5/6​C) 1/8​D) ​1/4

Bước 1: Đọc kỹ yêu cầu của bài toán, xác định những thông tin đã cho và những gì cần tìm như góc và giá trị x và y tương ứng trên hình tròn đơn vị.

Thông tin đã cho:

• A circle with a central angle MON measuring radians.

• M ($\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$) measure of central angle MON = kπ

  Thông tin cần tìm

• the value of k

Bước 2: Xử lí dữ liệu, áp dụng công thức.

Draw segment MP which is perpendicular to the x- axis. In right triangle MOP, x = 22 and y =22

Since tan ∠MOP = MP/OP = y/x = 1, the measure of ∠MOP = ∠MON is equal to 45°, or π/4 radian.

kπ = π/4

Therefore, k = 1/4Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng người học đã trả lời đúng yêu cầu của bài toán.

k = 1/4

Những điều cần chú ý

1. Đường tròn đơn vị được sử dụng để định nghĩa các hàm lượng giác sin, cosin và tangent.

• Sin (sin): Tỷ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh huyền trong một tam giác vuông.

• Cosin (cos): Tỷ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh huyền trong một tam giác vuông.

• Tangent (tan): Tỷ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh kề trong một tam giác vuông.

• Các hàm lượng giác nghịch đảo: arcsin , arccos, arctan.

2. Xác định sin, cos, tan của các số đo phổ biến.

3. Công thức chuyển đổi từ radian sang degree và ngược lại.

Công thức:

• Độ = Radian × (180 / π)

• Radian = Độ × (π / 180)

4. Có thể biểu diễn bất cứ điểm (x,y) nào trên đường tròn:

• x= r cos a = cos a

• y = r sin a = sin a

• y/x = tan a

Những mẹo hữu ích khi luyện tập với bài tập Unit Circle Trigonometry

• Ghi nhớ công thức, những số đo giá trị đặc biệt thường gặp

Trong quá trình học và luyện tập dạng bài này, người học cần ghi chú và ghi nhớ các công thức toán học liên quan cùng những số đo, giá trị của các góc đặc biệt (30°, 45°, 60°, 90°,…). Điều này sẽ giúp quá trình giải bài nhanh hơn và hiệu quả hơn.

• Hiểu rõ “cơ chế hoạt động” của vấn đề, công thức, cách làm bài chứ không chỉ dừng lại ở ghi nhớ thuộc lòng

Việc ghi nhớ công thức, cách áp dụng để làm bài là điều cần thiết giúp người học giải quyết vấn đề nhanh mà không cần sử dụng máy tính. Tuy nhiên, người học cần học, luyện tập để hiểu rõ chi tiết sự liên quan của các giá trị, yếu tố của đường tròn đơn vị, giúp họ sử dụng nhiều công thức, cách giải hơn để giải quyết những vấn đề phức tạp ở mức độ khó.

Bài tập áp dụng

A. Quadrant IB. Quadrant IIC. Quadrant IIID. Quadrant IV

Question 2: In a 45°–45°–90° triangle, what is the value of sin⁡(45°)?

A. 1/2B. 1/√2C. √2/2D. √3/2

Question 3: Which of the following degree measures is equal to 5π radians?(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 450°B. 540°C. 900°D. 360°

Question 4: Which of the following degree measures is equal to 3π/2 radians?(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 90°B. 135°C. 270°D. 180°

Question 5: Which of the following radian measures is equal to 120°?(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. π /6B. 2π/3C. π/3D. π

Question 6: Which of the following radian measures is equal to 300°?(The number of degrees of arc in a circle is 360. The number of radians of arc in a circle is 2π.)

A. 5π /3B. 5π/6C. 3π/2D. 2π

Question 7: Order the following angle measures from largest to smallest

• 210° degrees

• 7π/4 radians

• 3π/2 radians

• 140° degrees

Question 8: In the xy-plane, O is the center of a circle. The measure of ∠AOB is k2π radians. What is the value of k?

A. 1/6B. ​ 5/6C. ​ 7/6D. ​1/3

Đáp án:

1. B

2. C

3. C

4. C

5. B

6. A

7. Angle measures are ordered from largest to smallest:

• 7π/4 radians

• 3π/2 radians

• 210° degrees

• 140° degrees

8. D

Tiếp theo: Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông SAT math - Right triangle trigonometry