Buzz
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn là gì?
Giả sử ta có đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng d, vậy ta có: [1]
d (O;d) = R → đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O.
d (O;d) < R → đường thẳng d và đường tròn tâm O cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
d (O;d) > R → đường thẳng d không tiếp xúc với đường tròn tâm O.
Phương pháp xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cùng công thức tính khoảng cách d
Cách xác định công thức khoảng cách d
Để tính khoảng cách d của đường thẳng và tâm đường tròn, người học có thể áp dụng công thức tính khoảng cách một điểm đến đường thẳng đó. [1]
Ta có:
Δ:ax+by+c=0 → Phương trình tổng quát của đường thẳng
O(xO,yO) → Toạ độ tâm O của đường tròn
Công thức như sau: d=|axO+byO+c|a2+b2
Phân loại vị trí dựa trên việc so sánh d với R
Như đề cập phía trước, người học có thể sử dụng khoảng cách d giữa đường thẳng và tâm so với R (hay bán kính của đường tròn) để xác định vị trí của chúng: [1]
Nếu:
d = R → Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
d < R → Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm
d > R → Đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn
Với tham số m: Giải d(m) = R để xác định m
Với đường thẳng viết dưới dạng Δ:ax+by+m=0 và được cho sẵn khoảng cách d, ta có công thức tìm m như sau:
d(m)=|mx0−y0+m|m2+b2
Xác định các giao điểm
Giải hệ phương trình ∆ và (x - x_O)² + (y - y_O)² = R².
Giả sử ta có Δ:𝑦=ax+b và đường tròn: (x−xO)2+(y−yO)2=R2
Thế vào y = ax + b vào phương trình đường tròn để có một phương trình chỉ có 1 nghiệm là x. Từ đó tính ra tọa độ giao điểm đề cho.
Phương pháp kiểm tra nhanh
Để kiểm tra xem mình đã làm đúng hay chưa, người học có thể sử dụng phần mềm Geogebra nhằm xác thực đáp án của mình. Một số bước cơ bản để sử dụng như sau:
Tải phần mềm: Người học có thể truy cập google, tìm kiếm phiên bản geogebra mới nhất và nhấn tải về.
Cài đặt phần mềm sau khi tải
Tìm hiểu khái quát giao diện của Geogebra
Tìm hiểu menu ngữ cảnh
Tìm hiểu các thuộc tính của đối tượng
Tìm hiểu cách xuất file/in ấn
Các ví dụ minh họa về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1: Xét vị trí ∆: x + y - 2 = 0 và (O; √2) với tâm (1,1).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng và đường tròn
d=|axO+byO+c|a2+b2Ta có: Δ:x+y−2=0
→ a=1; b=1; c=−2
Thế vào công thức, ta có:
Tính tử số:
∣1⋅1+1⋅1−2∣=∣1+1−2∣=∣0∣=0
Tính mẫu số:
12+12=2→ ta có khoảng cách: d=02=0
So sánh với bán kính: d = 0 và R =
→ Đường thẳng cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm và đồng thời đi qua tâm O (d = 0)
Ví dụ 2: Xác định m để ∆: m x - y + 1 = 0 tiếp xúc với x² + y² = 4
Khoảng cách từ tâm O(0,0) đến Δ là:
d=|a⋅0+b⋅0+c|a2+b2=|1|m2+1=1m2+1với a = m, b = −1, c = 1
Điều kiện tiếp xúc: d = R → 1m2+1=2 (Với R = 2) với m2+1>=1
Tuy nhiên, khi quy đồng lên ta thấy: m2+1=12 → Không tồn tại giá trị thực m sao cho Δ tiếp xúc với x² + y² = 4.
Ví dụ 3: Tìm giao điểm khi cắt: ∆: 2x - y + 1 = 0 và (x-1)² + (y-1)² = 1.
Ta có: ∆: 2x - y + 1 = 0 → y = 2x + 1
Thế y = 2x + 1 vào phương trình đường tròn ta có:
(x−1)2+(2x+1−1)2=1
(x−1)2+(2x)2=1
x2−2x+1+4x2=1
5x2−2x=0
→ x(5x−2)=0
Vậy x=0 hoặc x=52
Bài tập về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Bài 1: Cho điểm A(2;3) và đường thẳng Δ: 3x − 4y + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến Δ.
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm B(1;−1) đến đường thẳng y = 2x + 1.
Bài 3: Xét đường tròn tâm O(1;1), bán kính R = 3 và đường thẳng Δ: x − 2y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối (cắt/tiếp xúc/không giao).
Bài 4: Tìm giao điểm của Δ: y = −x + 2 và đường tròn x2+y2=5
Bài 5: Tìm m sao cho đường thẳng y = mx + 2 tiếp xúc với đường tròn tâm C(1;−1), bán kính R = 3.
Bài 6: Cho đường tròn tâm O(x0,y0) = (1,−2), bán kính R = 5. Tìm tất cả các đường thẳng có hệ số góc m dạng y = mx + b sao cho chúng tiếp xúc với đường tròn
Đáp án:
Bài 1. d=15
Bài 2. d=45
Bài 3. Δ cắt đường tròn tại 2 điểm
Bài 4. (1+62, 1−62)và (1−62, 1+62)
Bài 5. m=0 và m=34
Bài 6. 𝑏=−𝑚−2±5m2+1
Ứng dụng thực tiễn của vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Kinh doanh: Trong khảo sát thị trường, biểu đồ doanh thu thường kết hợp biểu đồ đường thẳng và biểu đồ tròn. Việc phân tích vị trí tương đối giúp người học so sánh nhanh tỷ lệ doanh thu giữa các sản phẩm và xu hướng tăng trưởng. [2]
Công nghệ: Thuật toán xử lý ảnh sử dụng kiểm tra tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn để phát hiện cạnh và biên vật thể tròn trong hình chụp, hay ứng dụng trong nhận diện khuôn mặt hay đồ vật. [2]
Giáo dục: Giáo viên sử dụng bài tập để đánh giá tư duy không gian của học sinh và nghiên cứu hiệu quả giảng dạy qua phân tích kết quả bài tập thực tế. [2]
…
Tổng hợp các dạng câu hỏi thường xuất hiện trong phần thi SAT Math - Phần 2
Sum and Difference of Cubes - Công thức, dấu hiệu nhận biết và cách phân tích
Các quy tắc về số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT Math
